| 研究課題/領域番号 |
25800002
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 研究機関 | 山形大学 |
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研究代表者 |
深澤 知 山形大学, 理学部, 准教授 (20569496)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | ガロア点 / ガロワ点 / 正標数 / 射影代数多様体 / 射影 / ガロア群 / ガウス写像 |
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| 研究概要 |
ガロア点を用いた射影多様体の分類、ガロア点と周辺分野との関係の創出、という２つの目的のもと研究を行なった。標数をp≧0とする。次数dの既約平面曲線Ｃに対し射影平面内の点ＰがＣに対するガロア点であるとは、点Ｐからの射影が呈する関数体の拡大がガロア拡大となるときに言う。以下の３つの結果を得た。
1. 外ガロア点を２つ(以上)もつ平面曲線のファミリーを構成し、いくつかの状況で外ガロア点の個数を決定した。ｑをｐべきとする。これら曲線の次数が２ｑであるときには、個数がｑ－１またはｑ＋１となる曲線のファミリーが得られる。これは「次数を大きくすれば外ガロア点の個数がいくらでも大きくなる」という例であり、この種の例としてはエルミート曲線、バリコ・エフェッツ曲線に次ぐ第３の例である。
2. 双対曲線の点射影におけるガロア閉包について三浦敬氏(宇部高専)と共同研究を行った(標数は零)。前年までの研究によって「拡張可能ガロア点Pのガロア群は、双対曲線のとある対応する点P’での射影と可換になる群への埋め込みをもつ」という結果が得られていた。今回は「対応する点P’のガロア閉包」を考察した。点P’からの射影と元の点Pからの射影との関係を具体的に記述することに成功した。その記述を用い、「P’がガロア点となる状況」の決定と、ガロア閉包の拡大次数の上限を与えることができた。さらに、３次平面曲線の双対曲線について、２面体群や位数１８の群を与える点の配置を明らかにした。
3. ガロア点を複数もつ非特異平面曲線の分類リストに現れる曲線のうち、自己同型群が調べられていないと思われる(標数２の)２種の曲線について、その自己同型群を決定した。そのうちの一種の群の位数は、標数零で成り立つHurwitzの上限を上回る。Deuring-Shafarevichの公式を用いて、この曲線がordinaryであることも証明できた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究目的「ガロア点の分布による射影多様体の分類」に関して、主要課題のひとつは「ガロア点の分布による平面曲線の分類」である。上記１の結果は分類される可能性のある具体例の構成であり、また、ガロア点の個数の上限を探る手掛かりを与える。上記２の双対曲線と関連付けた研究は分類理論の展開のひとつであると同時に、もう一つの目的である「他分野との関係を見出す」ことの具現化、という意味合いももつ。上記３の研究も「p階数」との関係を考える上で興味深い例を与えている。これは、数論との関係性が新たに見出される可能性を秘めている。
研究計画において具現化した３つの課題のうち、２つ「平面曲線のガロア点の個数の上限」と「ガロア点を無限個もつ曲面」に関する研究については、上記１以外に、部分的解決と証明に必要な命題の整理について一定の成果が出、順調な進展がみられた。予想の範囲外の進展も含め、上記のように自己評価した。
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| 今後の研究の推進方策 |
主要課題「ガロア点の分布による平面曲線の分類」と「無限個のガロア点をもつ超曲面の分類」については一定の成果が得られているので、これをさらに進めたい。予想外の進展があった双対曲線との関係、p階数(最大のときがordinary曲線となる)との関係についても、分類理論的観点と応用的観点からさらに進めていく。成果と相談しながら、正標数における有理点・符号との関係を探る。
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