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2015 年度 実績報告書

ガロア点を用いた射影多様体の分類理論と新展開

研究課題

研究課題/領域番号 25800002
研究機関山形大学

研究代表者

深澤 知  山形大学, 理学部, 准教授 (20569496)

研究期間 (年度) 2013-04-01 – 2016-03-31
キーワードガロア点 / ガロワ点 / 正標数 / 射影代数多様体 / 射影 / ガロア群 / ガウス写像 / 準ガロア点
研究実績の概要

ガロア点を用いた射影多様体の分類、ガロア点と周辺分野との関係の創出、という2つの目的のもと研究を行なった。既約平面曲線Cを考える。射影空間内の点PがCに対するガロア点であるとは、点Pからの射影が呈する関数体の拡大がガロア拡大となるときに言う。ガロア点が曲線上にあるとき「内ガロア点」という。
標数零、次数4の有理的平面曲線について考察した。2個以上の内ガロア点をもつための必要十分条件として、曲線のパラメータを決定した。さらに計算機(Mathematica)を用いることにより、内ガロア点を3点もつ有理曲線の存在を示した。次数4の平面曲線の個数については、三浦敬氏によりその上限が与えられていた。特に曲線が有理的であるときには、上限は「3」であることがわかっていた。今回の著者の結果により、この三浦氏の上限がシャープであることが示された。
三浦敬氏・高橋剛氏と共同研究を行い、ガロア点の一般化として「準ガロア点」を導入し、その一般理論を整理した。準ガロア点とは、点射影と可換になる自己同型群G[P]の位数が2以上であるときに、その射影の中心点のことと定義した。標数零の非特異平面曲線を中心に、準ガロア点の定義方程式、準ガロア点の個数の上限、準ガロア点に付随する群が生成する群の構造、等を論じた。例えば、4次非特異曲線について準ガロア点の個数の上限は「21」であり、これに到達するものはクライン曲線に限定されることを示した。現在、プレプリントサーバarXivにそれらの結果を掲載(arXiv:1505.00148)しており、得られた定理は13個に及ぶ。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2016 2015 その他

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件、 謝辞記載あり 3件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 1件、 招待講演 2件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Galois points for a plane curve and its dual curve, II2016

    • 著者名/発表者名
      Satoru Fukasawa, Kei Miura
    • 雑誌名

      Journal of Pure and Applied Algebra

      巻: 220 ページ: 2038-2048

    • DOI

      10.1016/j.jpaa.2015.10.015

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Rational points and Galois points for a plane curve over a finite field2016

    • 著者名/発表者名
      Satoru Fukasawa
    • 雑誌名

      Finite Fields and Their Applications

      巻: 39 ページ: 36-42

    • DOI

      10.1016/j.ffa.2016.01.003

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] A family of plane curves with two or more Galois points in positive characteristic2016

    • 著者名/発表者名
      Satoru Fukasawa
    • 雑誌名

      Contemporary Developments in Finite Fields and Applications

      巻: - ページ: 印刷中

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] 有限体上の平面曲線に対する有理点とガロア点2015

    • 著者名/発表者名
      深澤知
    • 学会等名
      Workshop on Galois point and related topics
    • 発表場所
      神奈川大学横浜キャンパス
    • 年月日
      2015-09-06
    • 招待講演
  • [学会発表] 平面曲線のガロア点配置と応用2015

    • 著者名/発表者名
      深澤知
    • 学会等名
      第60回代数学シンポジウム
    • 発表場所
      静岡大学静岡キャンパス
    • 年月日
      2015-09-01
    • 招待講演
  • [学会発表] Rational points and Galois points for a plane curve over a finite field2015

    • 著者名/発表者名
      Satoru Fukasawa
    • 学会等名
      The 12th International Conference on Finite Fields and Their Applications
    • 発表場所
      Skidmore College (Saratoga Springs, USA)
    • 年月日
      2015-07-16
    • 国際学会
  • [備考] 正標数の視点からの射影代数幾何学の研究

    • URL

      http://www-sci.yamagata-u.ac.jp/wp-content/uploads/2014/12/fukasawa.pdf

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公開日: 2017-01-06  

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