| 研究課題/領域番号 |
25800003
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
有家 雄介 筑波大学, 数理物質系, 助教 (50583770)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 頂点作用素代数 / モジュラー不変性 / モジュラーな微分方程式 / アフィンリー環 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は、有限次元単純リー代数に付随するアフィンリー代数から構成されるレベルが正整数のアフィン頂点作用素代数（このとき、頂点作用素代数としての指標はモジュラー群の作用で不変となる）の指標のみたすモジュラー形式を係数にもつ微分方程式（モジュラー微分方程式）について研究した。一般にモジュラーな微分方程式の階数と指標の解空間の次元が一致するとは限らない。本年度は微分方程式の階数と指標の空間の次元が一致する場合がいつであるかを多数の例に関して計算し、アフィン頂点作用素代数の既約表現の指標の空間が５次元以下であれば、次元と階数が一致することを証明したということである。これは当初の計画とは少しはずれたところにある研究ではあるが, このような結果によりモジュラー形式などの整数論への応用が期待できる。この結果は台湾で開催された国際研究集会（３月）において発表した。さらにプレプリントとしてまとめ、現在投稿中である。また、これらの微分方程式を具体的に決定し解くことにより、いくつかのアフィン頂点作用素代数の表現の指標を具体的に書き下した。こちらは現在論文を準備中である。
研究計画に記載した研究内容に関しては、頂点作用素超代数のテンソル積のフュージョン積に関する研究を行い、もとの頂点作用素代数のフュージョン積とテンソル積のフュージョン積の関係についての結果を得た。こちらは現在論文を作成中であり、２７年度中に発表予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
頂点作用素代数の表現の指標がモジュラーな微分方程式の解の一部になるということは、指標のモジュラー不変性の証明における重要なポイントである。本年度の研究は当初の計画に非常に密接な関係のある内容ではあるが、大きな進展が得られた。また、この研究を通して研究計画に関する多くの新しい知見が得られ、次年度以降の研究に資するところ大であった。また、頂点作用素超代数のフュージョンに関する知見もいくつか得られたので、自己評価としてはやや遅れているとしたい。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成２７年度の前半部分では、今年度行った研究を継続し、より一般の頂点作用素代数の指標とモジュラー微分方程式の関係を考察する。特に１）アフィン頂点作用素代数の場合に指標の空間の次元とモジュラー微分方程式の階数が一致する場合は有限個かどうか?および２）微分方程式の階数と頂点作用素代数の構造の関係に関する研究をおこなう。後半ではこれらの知見を生かして、当初の予定通り、指標のモジュラー不変性に関する研究を完成させることを目的とする活動を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初は、カリフォルニア大学サンタクルーズ校のChongying Dong氏のもとへ共同研究に行く予定であったが、同氏が夏に中国の四川大学に滞在していることもあり、行き先がアメリカから中国になったことで未使用額が発生した。
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| 次年度使用額の使用計画 |
未使用分は新たに考察の対象となったモジュラー微分方程式について、おもに大阪大学の永友清和氏との研究連絡のための旅費、整数論、アフィンリー環などの関連する研究資料の購入に充てる。
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