| 研究実績の概要 |
今年度は前年度の続きとして高次元の場合のl進やp進の同志の存在に関する研究を行い，l進同志の存在に関する結果をH. Esnault氏との共同研究で示した．
Xを標数pの有限体上の滑らかな代数多様体としてlをpとは異なる素数とする．FをX上の滑らかなl進層とする．p, lとは別の素数l'を固定したとき，Fと各閉点でのフロベニウス固有値が一致するようなl'進層F'のことをFのl'同志といい，Deligneはl'同志の存在を予想した．l'同志の存在はDeligneとLafforgueの結果を下敷きにDrinfeldが証明した．
さて，X上の過収束FアイソクリスタルEを与えたとき同様にEのl進同志という概念も定義することが出来る．本年度の結果は過収束Fアイソクリスタルに対するl進同志の存在である．
証明の核になっているのはレフシェッツ型の定理である．つまり，Eが既約だった場合，X上の曲線CでEをCに制限しても既約となるものの存在である．l進層に関しても同様のことが成立することが知られているが，これはl進層がXの基本群の表現であることを本質的に使うため，過収束Fアイソクリスタルに対して同様の議論を適用することが出来ない．今回の証明では類体論を使うことで既約性の議論を0次のコホモロジー群の計算に帰着させ，コホモロジーのアファイン・レフシェッツ定理に帰着させる．特に，基礎体が有限体であることが本質的である．一般的にレフシェッツ型の定理はより緩い条件のものとでも成立することが期待されており，それに関しては今後の課題になる．
さて，Deligneのオリジナルの問題はl進層に対して同志となっているような過収束Fアイソクリスタルを構成するものである．これに関してはアイソクリスタルの基本群の研究が進んでいないことに起因し，未解決であり，今後の課題になる．
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