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2015 年度 実施状況報告書

ラングランズ対応の枠組みをモチビックホモトピー論を用いて拡大する研究

研究課題

研究課題/領域番号 25800005
研究機関東京大学

研究代表者

近藤 智  東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 客員准科学研究員 (30372577)

研究期間 (年度) 2013-04-01 – 2017-03-31
キーワード代数曲線のモジュライ / オペラッド構造 / モジュラーシンボル
研究実績の概要

今年度は主にプレプリント「Modular operads of embedded curves」の修正に費やされた。このプレプリントは2014年7月にアーカイブに投稿したもので、Charles Siegel氏およびJesse Wolfson氏との共同研究である。この論文においては、曲線のその曲線の埋め込みのモジュライを、従来とは異なる形で定義を行った。ふたつの曲線の糊付けという操作はよく知られているが、それを拡張する形で、ふたつの埋め込まれた曲線の糊付けを定義した。主結果は、この糊付けの誘導する写像により、埋め込みのモジュライ空間がオペラッド構造を持つ、というものである。

このプレプリントでは、曲線の埋め込みのモジュライの定義に誤りがあり、プレプリントの形のままではうまくいかない部分が出てくることが今回わかった。そのため、その修正に時間が費やされ、従来のものとはことなる、新しいモジュライの定義を考えるに至った。これが今年度の主な研究実績となる。

一方で、ラングランズ対応に関する内容を一部含むプレプリント"The Borel-Moore homology of an arithmetic quotient of the Bruhat-Tits building of PGL of a non-archimedean local field in positive characteristic and modular symbols" (安田正大氏との共著)についての講演を二回行っている。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

4: 遅れている

理由

ラングランズの枠組みの改変を研究のゴールとして掲げているが、それについては、当初の予定とは異なる形での結果しか得られていない。(2回の講演)

今年度は、発表してあったプレプリントに間違いが見つかったため、その修正に時間が費やされた。

しかし、曲線のモジュライの埋め込みがオペラッドをなすというプレプリントについて、講演を行うなど、他の研究者からのフィードバックを得られるように動いた。プレプリントについてのコメントが専門家からあり、それを反映させるよう、プレプリントを改良しており、これらは必要なステップであったと考えられる。

今後の研究の推進方策

今回、埋め込みのモジュライの新しい定義を得たことにより、これまでは考えられなかった具体的な問題が提示されるようになった。研究計画においてはすべてが抽象的であったが、これらの具体的な問題には、計算機などで計算が可能な問題が含まれており、このような計算を行うことが今後の方針を立てる上で役に立つのではないかと思われる。

上の曲線の埋め込みのモジュライにまつわる問題に取り組むほか、より直接に最終年度の予定にも取り組む。スタンダード予想などを仮定することで、ベイリンソン予想を導くという目標があるが、これのより簡単な場合というものが考えられることが最近わかったので、そのより簡単な問題に取り組む。これは他の整数論の研究者の協力を必要とするものになると思われる。

次年度使用額が生じた理由

当該年度はパソコンなど物品の購入が少なかったため、次年度使用額が生じた。

次年度使用額の使用計画

ノートパソコンなど持っているもので古くなってきているものがあるため、それらを購入する予定である。また、書籍などにも使用する。

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2015 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件、 オープンアクセス 1件、 謝辞記載あり 1件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 1件、 招待講演 2件)

  • [国際共同研究] University of Chicago(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      University of Chicago
  • [雑誌論文] On two higher Chow groups of schemes over a finite field2015

    • 著者名/発表者名
      Satoshi Kondo, Seidai Yasuda
    • 雑誌名

      Documenta Mathematica

      巻: 20 ページ: 737,752

    • 査読あり / オープンアクセス / 謝辞記載あり
  • [学会発表] On Modular Symbols for PGL(d) in positive characteristic2015

    • 著者名/発表者名
      Satoshi Kondo
    • 学会等名
      Algebraic Geometry conference
    • 発表場所
      Indian Statistical Institute, Bangalore, India
    • 年月日
      2015-12-10
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Modular Symbols for PGL in positive characteristic2015

    • 著者名/発表者名
      Satoshi Kondo
    • 学会等名
      Algebraic Geometry seminar
    • 発表場所
      National Research University, Moscow, Russia
    • 年月日
      2015-10-02
    • 招待講演

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公開日: 2017-01-06   更新日: 2022-01-27  

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