| 研究実績の概要 |
当該年度では, 小圏を用いた数え上げ組合せ論的対象の研究を進めた. 特に代数的組合せ論の分野で広く研究されているassociation schemeの圏論的視点からの拡張であるschemoidについて研究を行った. 特に, schemoidの構造をもつ小圏を与えられた半順序集合から構成する方法を与えるということ, 及び, schemoidの構造を保存するような関手のなす圏についての研究を行い成果をえた. 我々が半順序集合から構成した小圏およびそのschemoid構造は, 元となる半順序集合の組合せ論的構造を多く反映しており, schemoidから構成されるschemoid algebraという環も組合せ論的な情報を多く含んでいる. 例えば, Coxeter群のBruhat orderによる半順序集合から構成した場合そのschemoid algebraはnilCoxeter algebraになり, Matroidのflatsのなす半順序集合から構成した場合そのschemoid algebraはnilMoebius algebraと呼ぶべきものとなる. 本研究課題の主たる対象は完全二分木とマッチングの対応であるが, 完全二分木は自然に半順序集合だと思うことができる. 従って, 当該年度に得られた構成を, 完全二分木に対しても適用することで, 完全二分木の組合せ論的情報を持った代数を構成し, その代数の構造から完全二分木を研究することが考えられる. 完全二分木に対する応用については次年度以降の課題とする.
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| 今後の研究の推進方策 |
当該年度で得られた成果は, ある条件を満たす半順序集合からschemoid構造をもつ小圏を構成する構成法である. この成果を, 半順序集合の特別な場合としての完全二分木に対して応用することはまだできていない. 具体的な完全二分木に対し当該年度で得られた成果を応用することを試みる. また, 研究計画最終年度となるので, 前年度までに得られた成果を論文としてまとめることも進める.
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