| 研究課題/領域番号 |
25800018
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
三井 健太郎 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (70644889)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 曲線束 / 退化ファイバー / 主等質空間 / 整モデル / ガロワ・コホモロジー |
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| 研究実績の概要 |
代数群の主等質空間のデデキンド概型上のモデルに関する研究を行った．滑らかな準射影的代数群の主等質空間は構造代数群を係数とする関数体上のガロワ・コホモロジー群により分類される．本研究では，ガロア・コホモロジー群の元に対してモデルを定義し，ガロア・コホモロジー群の元のモデルが与えられたときに，一般点上の主等質空間から良い性質を備えたモデルが構成できることを示した．また，ガロア・コホモロジー群の元がモデルを持つことと，主等質空間が良い性質を備えたモデルを持つことが同値であることを示した．応用として次の結果を得た．
（１）剰余体が完全である場合に，楕円束の退化ファイバーを分類した．結果として，既約成分の双対グラフの分類にはアフィン・ディンキン図形を拡張した図形が現れることがわかる．この結果は小平の分類の一般化であり，また，剰余体が代数的に閉じている場合とは異なる現象を観察できた．
（２）完備離散付値体上のアーベル多様体の主等質空間上に，次数の小さな閉点が存在することを一定の条件のもとに示した．ここでの条件は，剰余体とアーベル多様体の退化に関して課せられる．アーベル多様体の退化が特殊な場合や，主等質空間上の次数の小さな0-サイクルの存在については以前より幾つかの結果が知られていたが，今回の成果は閉点に関するものであり，次数の小さな0-サイクルの存在定理の精密化になっている．
これらの結果を得るために，代数多様体のモデルと指数の関係についての研究結果を応用した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
楕円束はファイバーが１次元であるが，その場合をもとに高次元の代数群の主等質空間のデデキンド概型上のモデルの構成ができた．また，次数の小さな有理点の存在問題へ構成したモデルを応用することができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
主等質空間のモデルの構成は，楕円束の場合と異なり高次元の場合は基礎理論が十分に整っていないので，その確立を目指す．また楕円束の不変量の研究により，楕円束の分類の準備が整ってきたのでこれを実行に移す，
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度はボルドー大学に滞在しヨーロッパを活動拠点とすることになったため，海外出張旅費の使用が予定の額を下回った．
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| 次年度使用額の使用計画 |
ボルドー大学やルーベン大学などにおける共同研究や，国内外での研究成果発表のために使用する予定である．
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