| 研究概要 |
昨年度は主に次の研究を行った.
・局所体上の楕円曲線の積に対する Galois 記号写像やサイクル写像の単射性について研究した。
本研究の応用として, 当該研究課題の研究対象である染川K群の構造について調べることが出来た. 詳しくは幾つかの局所体上の楕円曲線に対する染川K群の mod p冪での群構造を決定した. 鍵となるのは加藤-染川予想と呼ばれている Galois 記号写像の単射性であり, その像については以前の研究により計算が出来ていた. 特に楕円曲線が超特異還元を持つ場合以外は山崎、Raskind-Spiess 等によって知られていた. 今回は超特異還元を持つ楕円曲線の場合にもこの単射性を示すことが出来た. ただしすべての楕円曲線が超特異還元を持つ場合は、技術的な理由で単射性を示すことが出来ていないのでこれは引き続き研究課題となっている.
今回のように局所体上の楕円曲線を考えた場合, 染川K群は楕円曲線の積からなる Abel 多様体の Albanese kernel と言う群と一致することが知られている. これは代数閉体や有限体上ではよく研究されてきた群であるが, p 進体上ではまだ分かっていないことが多い. またこれと Mattuck の定理と呼ばれる古典的な Abel 多様体の有理点に関する定理を組み合わせることで楕円曲線の積に対する Chow 群の構造も計算することが出来た.
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