| 研究課題/領域番号 |
25800028
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
下元 数馬 明治大学, 理工学部, 助教 (70588780)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | Witt環の構造解析 / 局所Bertini型定理 / 岩澤理論 / Frobenius写像 |
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| 研究実績の概要 |
研究テーマであるホモロジカル予想に関して、幾つかの自明でない結果を得ることはできたが、残念ながら予想の最終解決には至らなかった。問題解決の為には既存の方法だけでは本質的な困難があるように思われる。一方で、Witt環についてはこれまでの可換環の研究では殆ど何も知られておらず、研究を通じて我々の理解が深くなったと考えている。たとえば「体を含まない完備局所環の非常に大きな整拡大に対して、ある素数で割ると、Frobenius写像が全射になるものを具体的に構成せよ」という問題は、ホモロジカル予想のみならずFaltingsによるp進Hodge理論においても重要であって、部分的な結果を証明することができた。証明の方針はDrinfeldによる分岐Witt環と、古典的な完備局所環に関するCohen構造定理を改良したGabberの結果を組み合わせるという新しい発想に基づくものである。
今後の研究の方向性としてホモロジカル予想への基本的な戦略の若干の変更を試みると同時に、より広い枠組みの中で混合標数を持つ可換環の研究とその応用を展開したい。
もうひとつの研究テーマである局所Bertini型定理を論じた論文を出版させることが出来た。また当初には予期していなかったが、2次元の局所環のBertini型定理の非常に自然で簡単な証明を発見することができた。これらの結果はp進モジュラー形式の岩澤理論への応用がある。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
証明を書き終えた後のチェックにかなりの時間を費やしたが、前例が殆ど無い研究テーマということのもあり、議論の正当性を見極めるのに苦労したということが進展を遅らせている主な理由である。一方で全く予期せぬ結果を証明することが出来たので根気強く研究を継続したい。
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| 今後の研究の推進方策 |
Witt環についてさらに詳しい構造を調べる。数論的な問題への応用を展開する上で必要な代数的な準備を終えたので、これらの結果を用いてp進モジュラー形式の肥田族に対する岩澤主予想における片側の包含関係の証明を完成させたい。そのために加藤和也氏によって構成されたEuler系の議論を肥田族上で議論することが欠かせない。楕円曲線やモジュラー形式に関係する数論の問題を変形理論を用いて考察する方向性には将来性があり、当該研究から派生した問題としてGalois変形環の因子類群についても詳しく調べる予定である。
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