| 研究概要 |
当該年度には、射影幾何研究に関する射影多様体のガウス写像研究について, 以下の2項目について研究した: (1) ガウス写像の一般ファイバーの性質; (2) トーリック多様体のガウス写像の組み合わせ論的記述. なお, 後者の(2)については, 伊藤 敦氏(当時・東京大学)との共同研究の成果である.
また, 多様体上の有理曲線族の理論と関連する研究として以下の2項目について研究を行い成果を得た:(3) 標数2奇数次元の2次超曲面のcohomology的特徴づけ; (4) Convex分離有理連結な完全交叉多様体の特徴づけ.
以下, 特に(1)について詳細を述べる. ガウス写像が分離的であれば, その一般ファイバーは連結かつ線型となることが知られており, ガウス写像の分離性の良い特徴づけを得ることは重要である. 本研究では, 「ガウス写像とdegeneracy mapの分離性が同値である」ことを示した. また, 正標数ではガウス写像は非分離的にもなり得て, この時にその一般ファイバーは非連結にも非線形にもなり得ることが知られている. 本研究では, そのようなファイバーを, degeneracy mapを利用することにより, ある程度統御する方法を考案して結果を得た. ひとつの応用として, 「錐でないstrange多様体のガウス写像は必ず非分離的になる」ことを示した. (1)の研究においては, 研究計画・方法に述べたexpanding map・shrinking mapによる議論が鍵となり, それらを用いることで上に説明した結果を得られた.
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| 今後の研究の推進方策 |
ガウス写像研究については, 前年度にひきつづき, 一般ファイバーの性質・GMRZ性などの観点から研究を発展させる.
また, 標数2奇数次元の2次超曲面のcohomology的特徴づけについては, 現在は完全交叉を要請しての特徴づけを行っているが, これを他の要請(たとえば等質多様体)に変えて特徴づけを行えないかなど, 考察したい.
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