| 研究課題/領域番号 |
25800032
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| 研究機関 | 弘前大学 |
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研究代表者 |
山本 稔 弘前大学, 教育学部, 准教授 (40435475)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 安定な折り目写像 / 向き付け可能な3次元閉多様体 / モース型の不等式 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は前年度に引き続き，向き付け可能な3次元閉多様体から3次元空間への安定な折り目写像について研究を行った．特に今年度は向き付け可能な3次元閉多様体の1次元ベッチ数を写像の特異点を用いて評価する，モース型の不等式について研究を行った．
モース型の不等式を得るには正則点の集合（3次元多様体になる）の1次元，2次元ベッチ数の評価が必要となる．安定な折り目写像を折り目特異点集合（向き付けられた閉曲面になる）に制限すると3次元空間へのはめ込みとなるが，このはめ込み写像のみを見るだけでは正則点集合のベッチ数に関する情報を得ることは困難である．そこで3次元空間への安定な折り目写像と3次元空間から平面への射影を合成するという，前年度の手法をここでも利用した．
合成写像を折り目特異点集合に制限すると平面への安定写像と見なせる．そこでこの平面への安定写像の輪郭を詳しく調べることにより，正則点集合のベッチ数を上下から評価することに成功した．さらにこの評価式を用いて，目標であった向き付け可能な3次元閉多様体の1次元ベッチ数を上下から評価する式を得た．
元々のモースの不等式は定義域多様体のベッチ数をモース関数の臨界点の個数を用いて上から評価するという不等式であるため，今回得られた不等式はベッチ数を上下から評価できたという点で，向き付け可能な3次元閉多様体のトポロジーに関する情報をより詳しく得ることができたと言える．また，全ての向き付け可能な3次元閉多様体は3次元空間への安定な折り目写像を必ず持つため，向き付け可能な3次元閉多様体については安定な折り目写像を用いてモース型の不等式を構成すれば十分である．
向き付け不可能な3次元閉多様体から3次元空間への安定写像に関するモース型の不等式を同じようにして見出すことが今後の研究計画の一つである．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
3次元閉多様体から3次元空間への安定写像に関し，モース型の不等式を見出すことが2年目の研究計画であった．今回，向き付け可能な3次元閉多様体から3次元空間への安定な折り目写像に関し，上下からのモース型の不等式が得られたという点で，おおむね順調に研究が進展していると言える．
前年度の結果と合わせて論文にすることが早急の課題である．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度残した，向き付け不可能な3次元閉多様体から3次元空間への安定写像に対しモース型の不等式を見出すことが研究課題の一つである．
これと同時に，当初の研究計画である，3次元閉多様体から3次元空間への安定写像を4次元空間へのはめ込みにリフトし，はめ込みの正則ホモトピー類と安定写像の輪郭面のトポロジーとの関係を見出すという研究にも取り組む．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2015年の6月に国際研究集会「Singularities in Generic Geometry and applications -- Kobe - Kyoto 2015 (Valencia IV) --」を神戸と京都で開催することが2014年の10月に決まり，京都の方の会議の担当になったため．
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| 次年度使用額の使用計画 |
6月の国際研究集会「Singularities in Generic Geometry and applications -- Kobe - Kyoto 2015(Valencia IV) --」を開催するにあたり，研究の材料集めや集会の円滑な運営のため，弘前大学からも院生に参加してもらう．彼らの旅費の補助のために使用する計画である．
また，申請書にも記載したように2015年度はパソコンを購入する予定であるため，それにも用いる．
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