| 研究実績の概要 |
距離空間の擬等長不変な性質を調べる粗い幾何学について位相空間論的な立場から研究した. 空間の擬等長性をより広い立場から論じる枠組みとしてHigson-Pedersen-Roeらが与えた粗さの構造(coarse structure)は, 写像の一様連続性を定める一様構造の双対的な概念と呼べるものである. 擬等長性とは異なる粗さを記述する構造には, 空間のコンパクト化から導かれる位相的な構造と無限遠での距離の消滅性を用いて定めるC_0構造があり, これらの応用も論じられている.
我々の研究では, C_0構造を一様空間上の概念に拡張することにより位相的な構造とC_0構造が実質的に同値な概念であることを突き止めた. また, これらのHigsonコンパクト化とSmirnovコンパクト化の関係について理解を得た.
一方, Higsonコンパクト化は, coarse幾何学における無限遠境界を与えるコンパクト化の中で普遍的であると考えられる. しかしながら, その普遍性を主張する文献はなく, また, そもそも「coarse 幾何学におけるコンパクト化」という概念に明確な定義が与えられているわけではない. そこで, この概念の定式化とその普遍性について論じた.
上記と関連する話題について様々な研究集会およびセミナーにて講演を行った.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度に残された問題はまだ完全には解決していない. しかしながら, Higsonコンパクト化の普遍性への理解が深まったことと関連して, 負曲率空間における境界と非正曲率空間における境界の間の現象の違いが擬等長変換の拡張性の観点から理解できるようになった.
一方, C_0構造と位相的な構造の関係への完全な理解が得られたことにより, 古典的な一様空間の議論を応用できる可能性が高まっている.
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| 今後の研究の推進方策 |
当初の計画のとおり, 代数的なcoarse不変量との関係についてcoarseホモトピー性を中心に論じる. また, これまでに得られた結果の応用も期待されており, これについても検討するとともに, 国際的な研究集会等における講演を通して, 関係する国内外の研究者たちと意見交換を行う.
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