| 研究概要 |
今年度はSeiberg-Wittten-Floer安定ホモトピー型について研究した. Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型はManolescu, Manolescu-Kronheimerによって導入された３次元多様体の不変量で, Kronheimer-Mrowkaによって構成されたSeiberg-Witten-Floerホモロジーの精密化である. Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型は, ４次元多様体の不変量であるSeiberg-Witten安定ホモトピー不変量の貼り合わせ公式や３次元多様体のトポロジーに重要な応用をもつと期待されている. ３次元多様体の第一Betti数が0のとき, ManolescuによってSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型は定義され, 第一Betti数が正の場合はManolescu-Kronheimerによって議論された. しかし, 古田幹雄氏により, 第一Betti数が正の場合はSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型はwell-definedでないことが指摘された.
今年度の研究では, ある位相的条件をみたす3次元多様体にたいしてSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型を定義し, Seiberg-Witten安定コホモトピー不変量の貼り合わせ公式を構成した. ここでのSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型の定義はKronheimer-Manolescuによる構成を, Melrose-Piazzaによって導入されたSpectral sectionというものを利用して, 修正したものである. この構成法ではspectral sectionの取り方に依存し, ３次元多様体の不変量になっていない. しかし, 貼り合わせ公式を構成には十分である.
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は今年度に確立されあSeiberg-Witten安定コホモトピー不変量の貼り合わせ公式の応用を研究する. また, 今年度に構成したSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型は, ３次元多様体がある条件を満たす場合にのみ定義され, さらにspectral sectionの取り方に依存するので, 今後はより一般的な３次元多様体にたいして, spectral sectionの取り方に依存しない構成を研究する.
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