2014 年度実施状況報告書

精密化されたゲージ理論的不変量の研究

研究課題

研究課題/領域番号	25800040
研究機関	名古屋大学
研究代表者	笹平裕史名古屋大学, 多元数理科学研究科, 助教 (30466825)
研究期間 (年度)	2013-04-01 – 2016-03-31
キーワード	Seiberg-Witten理論 / Floer理論
研究実績の概要	本研究は3次元多様体の不変量であるSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型についての研究である. Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型は3次元多様体の第一Beitti数が0の場合にManolescuによって定義された. さらにSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型は3次元と4次元のトポロジーへの興味深い応用が発見されている. 第一Betti数が0の場合に定義されているSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型を第一Beitti数が正の3次元多様体へ拡張することは自然な問題である. 平成２５年度の研究では, ３次元多様体がある位相的条件を満たす場合, Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型を構成した. さらに平成２６年度の研究では, Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型のいくつかの応用を行った. より具体的には, ２つの３次元多様体の連結和のSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型はそれぞれのSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型のスマッシュ積と同型であることを示した。また、４次元多様体への曲面の埋め込みに関するある応用を得た. 第一Betti数が正の場合は, ３次元多様体がある条件を満たす場合にのみ定義されている。現在、より一般の３次元多様体にどのように拡張するかを研究している。これは平成２７年度の課題となる.
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由本研究の目的は, Seiberg-Witten-Fleor安定ホモトピー型の構成とその応用である. Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型の構成に関して、ある条件のもとで、実際に構成できた。また、応用に関しても、すでにいくつかの応用を得ている。
今後の研究の推進方策	現在、第一Betti数が正の３次元多様体に対しては、ある条件のもとSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型定義されている。今後の研究では、この条件が満たされない３次元多様体に対して、いかにSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型を定義するかを研究する。また、Seiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型の計算、応用についても研究する。より具体的には、３次元多様体に結び目が入っている時、その結び目に沿って手術することによって、新たな３次元多様体を得る。もとの３次元多様体のSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型と新たに得たSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型の間にどのような関係を得るかを調べる。これにより、多くの３次元多様体のSeiberg-Witten-Floer安定ホモトピー型の情報を得られると考えている。