| 研究課題/領域番号 |
25800052
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 研究機関 | 上智大学 |
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研究代表者 |
大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 助教 (90609091)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | カンドル / 曲面結び目 / 曲面絡み目 / 結び目 / 絡み目 / 不変量 |
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| 研究概要 |
本研究の目的は、カンドルを一般化する概念について詳しく研究し、それらを曲面絡み目の研究に応用させることである。曲面絡み目の三重点数などの諸性質に関する研究、新しい具体例構成の手法導入に繋がる研究として、以下のことを行った。
１．有限体上の２次特殊線形群のある共役類からなる共役カンドルがn-twist-spun trefoil に非自明なカンドル彩色を与えるための条件を纏め、国際会議で発表した。
２．結び目に対する線形アレキサンダーカンドル彩色が、その結び目で分岐する３次元球面の有限被覆空間の基本群からある巡回群への群準同型に対応している。ただし、これら群準同型写像には条件があり、その条件について考察した。この性質は結び目のFox p-彩色とその結び目で分岐する３次元球面の二重被覆空間の基本群から位数pの巡回群への群準同型との関連性の拡張である。これら拡張は単純に行われるのではなく、Fox 彩色のときには必要がなかったある一つの条件を付け加える必要があった。ホモロジー群からの準同型写像に対する考察により、付け加えた条件の必要性（または不必要性）についての説明も与えた。
３．曲面結び目のラック彩色数は通常では曲面結び目の不変量にはならないが、対象となる曲面結び目を２次元結び目に限定した場合、ラック彩色数は不変量になるという結果を論文として纏め発表した。ラック彩色数がカンドル彩色数として解釈されるということの説明も行っている。この研究は東京学芸大学の田中心氏との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
２５年度の研究によって、カンドルの諸性質について様々なことが分かってきた。しかし、次に挙げることはまだ未解決であり、引き続き追求される必要がある。
対称カンドルコサイクル不変量はある手法によりカンドルコサイクル不変量の一般化として捉えられることが分かっている。つまり、それらは古典結び目や向き付け可能曲面結び目に対しても有効な不変量であると言える。本研究の２５年度の課題の一つに、対称カンドルコサイクル不変量がカンドルコサイクル不変量よりも真に強いと言えるかどうかを確かめる、または真に強いと言えるような応用例を見つける、ということを挙げていたが、まだそれらに対する答えをまだ見つけていない。２６年度も引き続きその答えを追求し、得られた結果を論文として纏めたいと思う。
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| 今後の研究の推進方策 |
カンドルやカンドルを一般化する概念についての研究を継続しつつ、２６年度の研究実施計画も適切に遂行したい。曲面結び目、曲面絡み目の研究については、有限体上の２次特殊線形群のある共役類からなる共役カンドルを使った応用例の導入, 三重点数、minimum number of colors の新しく有効な判定法の導入を試みたい。
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