| 研究課題/領域番号 |
25800054
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
楠岡 誠一郎 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (20646814)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 確率微分方程式 / 放物型偏微分方程式 / マリアヴァン解析 / シュタインの手法 |
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| 研究概要 |
本年度は主となる研究として、係数の連続性が非常に悪い場合の放物型偏微分方程式の基本解の初期値に関する連続性の度合いを、確率微分方程式を用いて調べるという研究を行った。具体的には、拡散項に当たる２階微分の係数行列は対称で無いような型で、１階微分の係数ベクトルと０階微分(掛け算項)の係数は有界可測のみを仮定する場合に、どの程度初期値の連続性が得られるかを調べることを目標としている。この研究では、ピン止め拡散過程を用いて基本解を記述し、さらに２つの拡散過程を衝突させる様なカップリングを用いて初期値のずれに関する評価を行っている。ここで、ピン止め拡散過程をうまく扱うため、２階微分の係数行列が空間の次元に応じたソボレフ空間に属するという仮定を置き、さらにカップリングの手法がうまく働く様に２階微分の係数行列に連続という仮定を置いている。このような手法で研究した結果、考えていた偏微分方程式の基本解は初期値に関して、１より小さい任意の数を指数としたヘルダー連続性が得られることが分かった。
また、別の研究として４次モーメントの定理の拡張に関する研究も行った。４次モーメントの定理とは任意に固定された次数のウィーナーカオスに属する確率変数列で分散が１に収束するものに対して、この確率変数列が標準正規分布に収束することと４次モーメントが３に収束することは同値であるという定理である。この定理の証明は非常に技術的であり、類似の定理についてはほとんど知られていない。そこで、本研究では収束先が標準正規分布でない場合に何が成り立つのかを調べた。その結果、４次モーメントの定理の類似の定理とまではいかないものの、関係する多くの命題を示すことができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
係数の連続性が悪い放物型偏微分方程式の基本解の初期値に関する連続性の研究については、当初の予定では２階微分の係数行列により強い仮定を置いて研究を行う予定であった。しかし、ピン止め拡散過程を扱うための仮定を予想よりも緩めることができたため、当初の予定よりも早く深い結果に到達することができた。また、基本解の連続性の度合いを調べるに当たり、カップリングの手法がとても強い効果を発揮することを確認することができた。一方で、予定より早く難しい議論に着手したため、まだ計算が整理されていない部分や議論が成熟していない部分があり、今後時間をかけてこれまでの計算の整理や研究をまとめる作業が必要になっている。今後は整理された形に結果をまとめるための研究を行う。
また、４次モーメントの定理の拡張についての研究は当初の予定通りに進んでいる。当初の予定では４次モーメントの定理に関係する命題については既存の結果と同じように議論が進むと考えていたのであるが、実際に多くの命題について拡張することができた。一方、４次モーメントの定理そのものの拡張に関しては予想通りの困難に直面し、類似の結果を得るところまでには至っていない。今後はどのような仮定の下で４次モーメントの類似が成り立つのかを考えるのが課題となる。
これら２つの研究の進捗状況がどちらもほぼ予定通りであることを踏まえ、全体としておおむね順調に進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
係数の連続性が悪い放物型偏微分方程式の基本解の初期値に関する連続性の研究については、今後の研究として、まずアイデアや結果を整理することから始める。特に、ピン止め拡散過程を扱う部分については、確率論的でない解析的な手法を主に使っており、他の手法を用いたり、小さな仮定を付け加えるなどにより、本質が見えるような形で結果が整理されるのではないかと考えている。さらに、結果が整理されることによって新しい視点を得ることができれば、今後結果を拡張するなどしてより良い結果になるのではないかと考えている。また、ピン止め拡散過程やカップリングの手法を使うに当たってのアイデアを他の問題に使うことができないかなども今後考えていくべき事項であると考えている。
４次モーメントの定理の拡張についての研究では、今後の研究として、既に得られた関連する命題を元に、どのような仮定の下で４次モーメントの定理の類似が得られるかについて研究を行う。特に、元の４次モーメントの定理である収束先が標準正規分布の場合、その後類似として得られた収束先がガンマ分布の場合を含むような形で、４次モーメントの定理が成り立つ十分条件を見つけることができればと考えている。
また、現在世界の確率論研究者の中ではラフパス理論が盛んに研究されている。ラフパス理論とは確率積分をラフパスという新しい意味で定義するというもので、これによって確率解析に新しい視点を与えられた。このラフパスの考え方は本研究の目的である確率微分方程式の解析を行うに当たって、役に立つと考えている。そこで、係数の滑らかさが悪い場合の確率微分方程式に対するラフパスに視点を置いた研究も行いたいと考えている。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
平成２５年度の３月分の出張費約２０万円が３月中に執行されなかったため、平成２５年度の報告書における研究費の使用額が少なく計上されることになった。また、平成２６年度は国際研究集会における講演依頼が多く、多数の国内出張と複数回の海外出張をする必要がある。これらの出張経費を研究費から支払うため、平成２５年度の出張回数を減らすことにより研究費の使用額を抑え、平成２６年度の出張費に充てることにした。
平成２６年度は８月に韓国のソウルで開かれる国際研究集会「7th International Conference on Stochastic Analysis and its Applications」、同じく８月に関西大学で開かれる国際研究集会「Stochastic Processes, Analysis and Mathematical Physics」、９月にイギリスのウォーリック大学で開かれる開かれる国際研究集会「UK-Japan Stochastic Analysis School」で研究発表を行う予定であり、これらの研究集会に参加するための出張経費として研究費を使う予定である。また、例年開かれている国内の研究集会にも参加し研究発表を行う予定であり、これらの出張経費としても研究費を使う予定である。必要に応じて書籍等も研究費を使い購入する予定である。
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