研究課題
若手研究(B)
離散群の確率測度空間への作用が安定であるとは、それからできる同値関係 R が直積 R × R_0 と同型になるときをいう。ここで、R_0 は超有限 II_1 型同値関係である。R_0 は同値関係の中で最も基本的なものであり、直積をとる操作の下で R_0 が吸収されるかどうかを調べることは、同値関係の代数的性質の理解につながる。どのような群が安定作用をもつかどうかが最も興味ある問題である。２５年度は、無限の中心をもつ群 G がいつ安定作用をもつかどうかを調べた。具体的には次の事実を示した。(1) C を G の中心に含まれる部分群とし、C はカズダンの相対性質 (T) をもたないとする。このとき、G は安定作用をもつ。(2) C を G の中心に含まれる部分群とし、C はカズダンの相対性質 (T) をもつとする。さらに、G は安定作用をもつとする。このとき、G/C も安定作用をもつ。これらの結果により、G がいつ安定作用をもつかどうかが中心の相対性質 (T) に深く関わることが明らかになった。また、(1) は群が安定作用をもつための十分条件を与えるものである。これまでの安定作用の研究において、そのような十分条件を与える結果はほとんどなく、(1) の結果は他に見られないものである。また、無限の中心をもつ群で (1) の仮定を満たすようなものを大量に構成した。具体的には、樹木化可能な群から出発して、直積をとる操作と中心拡大をとる操作を有限回繰り返して得られる群に対し、それが無限の中心をもつならば (1) の仮定を満たすことを示した。実際にはより強く、そのような群が Haagerup の性質をもつことを示した。この結果により、安定作用をもつ群の具体例が数多く得られ、安定作用の研究のさらなる発展につながるものと思われる。
3: やや遅れている
２５年度はほぼ、安定作用の研究に終始した。安定作用の研究は２７年度に行う予定だったが、そこで記した計画のいくつかを達成することができた。具体的には、カズダンの性質 (T) を否定することから安定作用を作ることを目標としていた。中心が無限の群に対してこの目標が達成されたことは「研究実績の概要」で述べたとおりである。また、安定作用をもつ群の具体例を提供していくという計画も達成できた。ただ、計画では、一般化されたバウムスラッグ・ソリター群の安定作用を構成することを述べたが、これはまだ達成できていない。２５年度の計画では、色々な可換群の HNN 拡大がバウムスラッグ・ソリター群と軌道同型になることを証明する予定であったが、この研究はまだ本格的に着手できていない。
現在、安定作用の研究が順調なので、これを引き続き進めていきたいと考えている。具体的には、一般化されたバウムスラッグ・ソリター群の安定作用を構成したい。これは２７年度の計画として述べた主張である。また、色々な可換群の HNN 拡大の安定作用も構成したい。HNN 拡大の軌道同型問題については、計画に比べ遅れているため、安定作用の構成を足がかりに順次取り組んでいきたい。他には、中心が無限の群がいつ安定作用をもつかどうかという特徴付けの問題を解決していきたい。これの解決を通して、一般の内部従順群が安定作用をもつための条件を探っていきたい。
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Journal of Knot Theory and its Ramifications
巻: 22 ページ: 1350055, 1--46
10.1142/S0218216513500557
Osaka Journal of Mathematics
巻: 50 ページ: 309--337
