| 研究課題/領域番号 |
25800063
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
木田 良才 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90451517)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 離散群 / 軌道同値関係 |
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| 研究実績の概要 |
離散群による確率測度空間への作用が軌道同型の意味で剛的であるとは、その作用からできる軌道同値関係から作用に関する情報を全て復元できるときをいう。具体的には、他の群作用と軌道同型ならば、実は共役になるという強い性質を要請する。さらに、離散群が剛的であるとは、その全ての作用が剛的であるときをいう。過去の研究において、曲面の写像類群、高階単純リー群の格子部分群の特別な融合積が剛的であることが明らかになっている。剛的な群の例はここで挙げたものしかなく、その数は未だ乏しい。Ionut Chifan 氏との今年度の共同研究において、トレリ群、ジョンソン核、曲面組み紐群などの写像類群の自然な部分群が同様の剛性をもつことを証明した。また、関連する結果として、これらの群からできるフォンノイマン環が非自明なテンソル積に分解しないという性質（素であるという）も証明した。この結果は、写像類群のフォンノイマン環が素であることの証明に向けた第一歩であるといえる。
別の話題として、群作用の安定性についても成果を得た。前年度まで無限の中心をもつ群の安定性を研究していたが、その応用として一般化されたバウムスラッグ・ソリター群が安定作用をもつことを示した。また、有階自由アーベル群の有限指数部分群の間の同型写像による HNN 拡大もまた安定作用をもつことを示した。そのような群のある正規部分群 N が存在して、N は無限個の元から成る仮想的中心で相対性質 (T) をもたないものをもち、さらに N による商が従順であるという事実が鍵である。これにより、これまでによく知られていた内部従順群の例に対しその安定作用を構成するという目標を達成することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
２６年度は、色々な可換群の HNN 拡大がバウムスラッグ・ソリター群と軌道同型になることを証明する予定であったが、この問題に関しては大した進展は見られない。一方、２７年度に行う予定であった安定作用の研究については「研究実績の概要」で述べたとおり、満足な成果をあげることができ、２７年度の目標はほぼ達成されたと考えている。写像類群の多くの部分群が剛的であることの証明は、これまでのいくつかの研究成果を組み合わせることで得られるものであり、これもまた満足できる成果である。
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| 今後の研究の推進方策 |
安定作用の研究では、次の問題が未解決である。ある群に対し、その中心的部分群による商が安定作用をもつならば、元の群も安定作用をもつか？この問題が肯定的に解決されれば、中心をもつ群の安定性の特徴付けが得られることになる。しかし、現時点では手がかりもなく、進展は期待できない。そこで、安定作用の研究は来年度は続けずに、HNN 拡大の軌道同型による分類問題を考察していきたい。２８年度の計画に述べたように、バウムスラッグ・ソリター群の作用で、その軌道同値関係のある商が treeable になるようなものを構成し、その treeing を調べることで分類問題解決への糸口を探りたい。
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