| 研究課題/領域番号 |
25800064
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
白石 大典 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (00647323)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | ランダムウォーク / ループ除去ランダムウォーク |
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| 研究実績の概要 |
本年度は３次元ループ除去ランダムウォークの増大指数の存在を証明し、その結果を推し進めてブラウン運動に対するループ除去の操作の方法を考察した。低次元の場合、ブラウン運動のループはいかなるスケールでも出現するという意味において稠密であるので、一番最初に現れるループを定義することはできない。なので離散設定でのループ除去の操作をそのまま適用することはできない。しかしながらループ除去ランダムウォーク自身、ランダムウォークの軌跡の中に定義される対象なので、そのスケーリング極限はブラウン運動の軌跡内に実現されると期待される。どのようにループ除去を行うか、そしてそれが軌跡ごとに確率１で定義できるかを証明することが鍵となる。本年度はそのことを証明することに焦点を当てて研究を行った。ループ除去ランダムウォークは時間反転に対して軌跡ごとに不変ではないことからもわかるように、ある意味で安定性の弱い対象と言える。法則のレベルでみれば安定性を獲得できるわけであるが、ここでの目標は軌跡ごとにブラウン運動のループ除去の操作を施したいので解析に困難が生じる。スケールごとに見た時いかなる事象の上で大きな誤差が生じるかを明確にした。そしてその事象の起こる確率がある意味で小さいことを示すことに成功した。現在子の評価の改良を試みている段階である。それがうまく改良できれば軌跡ごとにループ除去ブラウン運動が定義できることになる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ブラウン運動のループを除去する操作を考察する上で、スケールを細かくしていったときに生じる誤差を押さえることが最大の鍵となる。本年度の研究において誤差が生じるという事象を含むより解析のしやすい事象を発見できたことは非常に意味のある進歩である。事実その事象の確率の評価はおおむね順調に遂行できている。このことでループ除去ブラウン運動の構成に大きく近付いたものと考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
ループ除去ランダムウォークの研究を推し進める理由のひとつとして元々のランダムウォークの軌跡の連結性に関わる問題を解決したいというものがある。ランダムウォークの軌跡はループ除去ランダムウォークにそれと独立なloop soupの交叉するループを加えたものとして実現されるという既知事実をここで応用したいのである。この事実からランダムウォークの連結性の問題は、ループ除去ランダムウォークが交叉するloop soupのループ達の連結性の問題へと帰着される。従ってループ除去ランダムウォークが与えられた集合にどのように交叉するかを精密に調べることが重要となる。
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