研究課題
冪乗型および指数関数型の非線形項を有するシュレディンガー方程式の時間局所解に対して、解の存在時刻と初期値の依存の仕方について考察した。ここでの指数関数型とはTrudinger Moser の不等式に現れる指数関数からなる非線形項である。本研究では、尺度不変性が成り立つ臨界のソボレフ空間で考察するため、存在時刻と初期値のノルムによる定量的な関係を見出すことはできないが、初期値を高周波成分と低周波成分に分けて存在時刻に関する詳細な評価を行い考察した。初期値の大きさに関わらず時間局所解に対する適切性が得られることがわかった。開集合上のベゾフ空間論について考察した。2乗可積分空間の場合、ヒルベルト空間上の自己共役作用素に対するスペクトル定理により、ディリクレラプラシアンをスペクトル分解できる。従って作用素の実数階を定義でき、実数階の正則性を有する2乗可積分空間を導入できる。この考え方をpを1以上の実数としてp乗可積分空間の理論へと発展させて、開集合上のベゾフ空間について考察した。偏微分方程式を取り扱う上で基本的である完備性、共役性、埋め込み定理などの性質についても考察した。分数冪ラプラシアンを有するハミルトン-ヤコビ方程式の時間大域的挙動について考察した。ここで考える分数階とは、線形解がポアソン核で与えられる場合であるが、線形項と非線形項の微分階数のバランスから取扱いが困難となる。本研究では解をデュハメルの原理に基づき積分方程式を満たすものとして捉え、初期値が適当な意味で小さいとき時間大域解はポアソン核に漸近することを証明した。
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