| 研究実績の概要 |
層ポテンシャルの再構成問題は変分構造を有し, 与えられたポテンシャルを生成する層（閉曲面）の存在が知られている. 一方, 逆問題の基本的問いである一意性, すなわち, 前述の性質を持つ層が一意に定まるかという問題に対しては, 変分構造を定める汎函数が一般に凸であるとは限らないため非自明である. 与えられたポテンシャルが球対称である場合には, 最大値原理を用いた移動平面法などの対称性の議論を用いることにより対応する層が一意に定まりそれが球面となることが知られているものの, 一般の場合にはそのような議論を用いることが出来ないため, 層の形状をあらかじめ指定（凸性）した条件下でのみ, その一意性が知られているのみであった.
本研究では, この層ポテンシャルの再構成問題に対し, 仮想的にパラメーターを付けた問題の族を考察し, 対応する層の族が成す ``フロー'', すなわち曲面の動きを発展方程式によって記述し, その力学的性質について解析することで, 元の問題の解である層の一意性を証明することに成功した. また, その形状についても詳細な評価を得た.
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| 今後の研究の推進方策 |
層ポテンシャルの再構成問題に対し行った解析は, 他の問題にも応用できる汎用性を有しており, 特に Bernoulli 問題などの自由境界を決定するような楕円型方程式の過剰決定問題に対しては, 同様の解析を行うことが可能であると考えている.
そこで, 個々の問題を解決するだけでなく, 過剰決定問題に対する統一的な理論的枠組みを構築する予定である.
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