| 研究課題/領域番号 |
25800074
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
佐々木 浩宣 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00568496)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 非線型シュレーディンガー方程式 / 初期値問題 / 散乱問題 / 解析的な関数 / ソボレフ空間 |
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| 研究実績の概要 |
平成２６年度は空間３次元以上の非線型シュレーディンガー方程式の初期値問題及び散乱問題における時間大域解の存在定理及び漸近挙動を中心に研究した。具体的に非線型項はハートリー型と呼ばれる非局所的相互作用に関連するものであり、数学的には未知関数と相互作用ポテンシャルＶによって構成されている。
（背景）自由シュレーディンガー方程式の初期値問題の場合、「初期値が指数関数的に減衰する場合、対応する時間大域解が（初期時刻を除いて）空間変数について解析的になること」は容易に示される。非線型方程式においても同様な状況が成り立つか否かを調べることは、本質的課題であり、数多くの研究成果が発表されている。これまでの結果では、「指数関数的に減衰する小さな初期値に対して、更に強い条件を与えることで、対応する解析的な解もその条件を満たすこと」に焦点が当てられている。一方、「更に強い条件」を課さない場合、即ち「小ささと指数関数的減衰のみしか課さない場合に、解がどうなるか」については未知な部分が多かった。
（主結果）今回次のような定理を厳密に証明した。
（１）或る正の値Ａが次を満たすように存在する：「指数関数的に減衰する初期値のＬ２ノルムがＡ以下であれば、対応する時間大域解は解析的であり、滑らかさに関する評価式が成り立つ」（２）Ａ以下の任意正数ａについて、Ｌ２ノルムがａであり且つ指数関数的に減衰する初期値の中で、「初期値の減衰の速さ」と「対応する時間大域解の滑らかさ」が等しいものが存在する。この結果は（１）にある評価式が適切であることを指している。
以上の結果を学術論文として纏め、国際学術雑誌に投稿した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
第二年度としてはおおむね順調に進展していると考える。
当初の計画においては「空間三次元の線型摂動項並びにp乗非線型項付きシュレーディンガー方程式における解の漸近挙動と散乱作用素Sの存在に関する研究を行い、優臨界指数における解の漸近挙動」を解決するという目標を設定した。上部の「研究業績の概要」において記載した結果は、優臨界指数における散乱問題における結果と大いに関連があり、本来の目標達成に大きく寄与する可能性があるものである。
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| 今後の研究の推進方策 |
現段階で得られている主結果およびそれを得るに至る手法を応用・修正することで、更に深い諸性質を明らかにしていく。
今年度の研究で扱った非線型項は、比較的扱いやすい関数空間（Ｌ２空間など）の範疇で議論できるものであったが、より一般の（但し重要な）非線型項に対して考察する場合は調和解析学における込み入った手法を駆使する必要がありうる。従って、調和解析学及びその周辺分野の研究も適時行う。また考察に有効なシミュレーションに関しても積極的に行う。更に各分野の専門家とのディスカッションを精力的に行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
平成２７年度以降は多くの出張とパソコン等の購入を予定しており、その遂行のために今年度の支出をある程度抑えた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
本研究ではさまざまな分野（偏微分方程式論、関数解析学、リーマン幾何学、数理物理学）の技術・知識を必要とするため、それに関連する書籍を年間１０冊程度（１５万円程度）購入する。
本研究における論文作成、成果発表資料作成、シミュレーション作成、研究者間の通信のため、パソコン周辺機器の充実化が必須である。今年度は２５万円程度の購入を計画している。
本研究の打ち合わせ並びに研究成果発表のために、出張を行う。国内出張先として、京都大学、信州大学などが挙げられる。またタイミングがあえば海外出張を行う。予算は４５万円程度である。
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