| 研究課題/領域番号 |
25800079
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
前川 泰則 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (70507954)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 非圧縮性粘性流体 / Navier-Stokes方程式 / 偏微分方程式論 / 渦度方程式 / 境界層理論 / Helmholtz分解 / 発散形楕円型作用素 |
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| 研究概要 |
2次元半空間におけるNavier-Stokes方程式に対して、あるリュービル型定理を証明した。この結果の応用として、流体の渦度場の方向として定義されるベクトル場の連続性が3次元半空間Navier-Stokes方程式の解の有限時間爆発を防ぐことを証明した。これは既存の結果では困難であった、noslip境界条件を満たす半空間上の非圧縮性粘性流体の有限時間爆発に関するcriterionを導くものであり、重要な結果である。また、境界をグラフで表すことのできる非有界領域におけるHelmholtz分解定理をエネルギー非有界なベクトル場を含むある関数空間において確立した。既存の結果では、このような非有界領域においては、一般にエネルギー有界な関数空間でのみHelmholtz分解が知られており、本研究による結果はこの分野で新たな道を切り開くものである。特に、その証明においては発散形2階楕円型作用素に対する積型の分解定理を用いており、その手法自体、既存の結果とは異なるものである。ここで開発された手法は、今後非圧縮性流体のなす空間の構造解析や、Stokes半群と呼ばれる流体の速度場を解析する際に基本となる作用素群の数学的な構造を探る際にも役に立つと思われる。この他、2次元外部領域における非圧縮性粘性流体の時間大域挙動について数学的研究を行い、初期速度場があるスケール不変な関数空間に属するとき、時間無限大でOseen渦と呼ばれる自己相似解に漸近することを証明した。たたし、そこでは漸近する自己相似解にある種の小ささを課しており、このような小ささの仮定を取り除けるか否かという問題は今後の課題である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究の目的の（II)で記した「2階発散形楕円型偏微分作用素のfactorizationと流体方程式への応用」という点について特に大きな進展があったため。例えばある非有界領域におけるHelmholtz分解の確立に成功した。これは今後、Stokes半群の構成や非圧縮性条件を満たすベクトルのなす空間の大域的な構造解析につながる重要な進展である。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究で確立された2階発散形楕円型偏微分作用素のfactorizationを、非圧縮性条件を満たすベクトル場のなす空間の大域的構造解析につなげる。これにより非圧縮性流体の持つ普遍的な非局所構造を明らかにする。さらに、応用としてStokes半群やNavier-Stokes方程式の解の構造解析について新たな理論展開を与える。
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