| 研究課題/領域番号 |
25800083
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
水谷 治哉 学習院大学, 理学部, 助教 (10614985)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | シュレディンガー方程式 / ストリッカーツ評価 / 平滑化作用 / 平滑化効果 |
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| 研究概要 |
シュレディンガー方程式の平滑化作用について以下の３点について研究を行った。
(1) 時間局所的性質の解析(論文印刷中)。２５年度の研究計画に沿って漸近的ユークリッド空間上で非有界な電磁場ポテンシャルを伴ったシュレディンガー方程式の初期値問題について研究を行い、時間局所ストリッカーツ評価の微分の損失をポテンシャルの増大度によって特徴付けた。定数係数で磁場がない場合にはほぼ最良な結果がすでに知られていたが、これを変数係数に拡張し、さらに定数係数の場合には最良な結果に改善した。
(2) 退化型シュレディンガー方程式の平滑化作用(論文投稿中)。Nikolay Tzvetkov氏 (Cergy Pontoise大学) との共同研究としてコンパクト多様体上の2階退化楕円型作用素に対するシュレディンガー方程式を考察し、ストリッカーツ評価の微分の損失を係数行列の退化の度合いによって特徴付けた。特に非退化 (例えば擬リーマン計量に付随するラプラシアンなど) の場合には一様楕円型の場合と同じ微分の損失を持つ評価を証明した。さらにコンパクトLie群Gの積G×G上の擬リーマン計量の場合に反例を構成し、上記の結果が最良であることも示した。
(3) 時間大域的性質の解析。J.-M. Bouclet氏 (Toulouse大学) との共同研究として漸近的ユークリッド空間上の時間大域的ストリッカーツ評価と古典軌道との関係について研究を行い、測地流の非捕捉性を仮定しない場合にも、非常に弱いレゾルベント評価を仮定すれば無限遠方における時間大域的ストリッカーツ評価が成り立つことを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
２５年度の研究計画で予定していた時間局所的平滑化作用についてはほぼ満足いく結果が得られ、論文も既に印刷中である。また次年度以降の研究計画にある解の時間大域的平滑化作用の解析についても、Bouclet氏との共同研究によって漸近的ユークリッド空間や漸近的錐型多様体を含む非コンパクト多様体上で適用可能ないくつかの道具が得られている。従って、研究は順調に進展していると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の概要(3)にあるように、Bouclet氏との共同研究によって時間大域的平滑化作用の解析が進展しているため、これのより一般的な枠組みへの拡張についてやや重点をおいて研究を進めたいと考えている。また、２５年度に引きつづき非有界な磁場を伴う場合のシュレディンガー方程式の解析として、基本解の振動積分を用いた表現についても研究を進める。
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