| 研究課題/領域番号 |
25800083
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
水谷 治哉 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (10614985)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | シュレディンガー方程式 / ストリッカーツ評価 / 平滑化作用 |
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| 研究実績の概要 |
線形シュレディンガー方程式に対する平滑化作用を用いた解析は、非線形シュレディンガー方程式の初期値問題、散乱理論にとって極めて重要である。本年度は閉じ込めポテンシャルによって引き起こされる微分の損失の定量的解析と、時間大域的平滑化作用の二つについて、以下の研究を行った。
（１）閉じ込めポテンシャルの具体例として無限遠方で増大する非有界な電磁場ポテンシャルを考察した。前年度はポテンシャルの増大度に依存した微分の損失を伴う時間局所ストリッカーツ評価を証明したが、本年度はその微分の損失が最良であることを確かめた。具体的にはポテンシャルが非退化な最小値を持つ場合にquasi modeをWKB近似を構成し、その高周波における挙動を解析した。
（２）前年度に引き続き、J.-M.Bouclet (Toulouse 3 大学)との共同研究として、漸近的錐型多様体上のシュレディンガー方程式の時間大域的平滑化の解析を行った。特に、低周波領域においてSobolevの不等式とMorawetz型評価を用いた、空間のスケール不変性に依存しない証明方法を開発した。この方法は外部領域における初期値境界値問題や漸近的双曲型多様体など、伸張群が全空間で定義されない場合にも応用が可能である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前年度の結果が最良であることを確認できたことは意義があると考えられる。また、Boucletとの共同研究で得られた手法は、変数係数シュレディンガー方程式の初期値問題だけでなく、ポテンシャルを伴う場合や境界値問題における解の時間大域挙動を解析する上で非常に有用であると考えられる。従って、研究はおおむね順調に進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
まずはBoucletとの共同研究を論文としてまとめ、早い段階で発表したいと考えている。また、その方法を応用して、研究計画に基づきクーロンポテンシャルなどの長距離型ポテンシャルを伴ったシュレディンガー方程式の初期値問題の解の時間大域挙動について研究を進める。
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