| 研究課題/領域番号 |
25800083
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
水谷 治哉 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (10614985)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | シュレディンガー方程式 / ストリッカーツ評価 / 漸近的錐多様体 / 半古典理論 / 超局所解析 / 捕捉軌道 / レゾルベント評価 / 散乱理論 |
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| 研究実績の概要 |
(1) 多様体上のシュレディンガー方程式に対する定量的解析と非線形散乱理論への応用
漸近的錐多様体上のLaplace-Beltrami作用素に対する線形および非線形シュレディンガー方程式を考察した。前年度までに、古典的散乱写像が正準関係である新たな磯崎-北田型パラメトリックスの構成など波動関数の超局所的性質の解析および低周波領域でのLittlewood-Paley評価などの調和解析の手法の準備は整っていた。これらに基づいて、まず古典軌道が非捕捉的である場合に端点評価を含む時間大域的ストリッカーツ不等式を示した。さらに、捕捉軌道が双曲的でその全体の為す集合のフラクタル次元が十分小さい場合にこれを拡張することもできた。その応用として質量臨界なべき乗型非線形項をもつ非線形シュレディンガー方程式に対して、小さな初期値に対する時間大域的適切性と散乱 (解が時刻無限大で線形解に収束すること) を示した。多様体上のシュレディンガー方程式は近年研究が進展しているが、捕捉される古典軌道が存在する場合の非線形散乱問題の結果はこれが初めてである。この結果については論文にまとめ現在投稿中である。
(2) 尺度臨界なポテンシャルを伴うシュレディンガー作用素の一様レゾルベント評価とその応用
ラプラシアンと同じ尺度を持ったポテンシャルを伴うシュレディンガー作用素のレゾルベントの一様評価とその応用について研究した。具体例としては逆2乗ポテンシャルとその小さな摂動が挙げられる。まず加藤の滑らかな摂動理論の考え方を用いてレゾルベント評価およびストリッカーツ評価に対する滑らかな摂動理論ともいえる一般理論を構築し、その応用として、上記のポテンシャルに対して、エネルギーについて一様なレゾルベント評価、加藤-谷島型平滑化作用、非斉次端点評価を含むストリッカーツ評価を証明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
まず交付申請書27年度研究計画に記載した内容および28年度計画の一部である非線形シュレディンガー方程式への応用について、上述の研究実績(1)においてこれを大きく発展させた形で達成することができた。さらに研究実績(2)は28年度後半の研究計画の一部を大きく発展させたものであり、これをさらに進展させることで初期値問題・散乱問題のみならずスペクトル理論への応用も期待出来る。特に、(2)で開発した手法は複素数値ポテンシャルを伴うシュレディンガー作用素の固有値問題、特に Lieb-Thrring型不等式などに応用が期待出来る。故に、研究は当初の計画以上に順調に進展していると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
まずは研究実績(2)の内容を論文としてまとめる。さらに、これを28年度研究計画に記載した非線形シュレディンガー方程式の散乱理論への応用を考察する。また、上述の固有値問題への応用およびクーロンポテンシャルを含むより広いクラスの長距離型シュレディンガー作用素、磁場シュレディンガー作用素への拡張可能性についても検討する。これらの目的を達成させるために、共同研究者との連絡を密にするとともに、国内外の研究集会に参加し研究成果の発表および情報交換を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初、年度後期に物品費については計算機と周辺機器、および専門図書の購入、旅費については国内研究集会（３箇所）への出張を予定していたが、Pual Sabatier 大学（フランス）への長期の海外出張が急遽決まったため、これらを購入したとしても年度内に使用することはないと考えられたことから、次年度へ持ち越すこととした。
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| 次年度使用額の使用計画 |
まず、物品費については計算機およびその周辺機器の購入費として、本年度持ち越し分と合算して使用する予定である。また、最近の研究動向を知るうえで不可欠な最新の専門図書（偏微分方程式論、微分幾何学論）の購入のために物品費を使用する予定である。旅費については、Jean-Marc Bouclet 氏（Pual Sabatier 大学、フランス）、Nikolay Tzvetkov 氏（Cergy Pontoise 大学、フランス）との研究打ち合わせおよび国際研究集会「SPECTRAL THEORY AND MATHEMATICAL PHYSICS」（Cergy Pontoise大学、フランス、6月）への参加のための海外出張費、国内における研究集会および研究打ち合わせのための出張費として使用する。
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