| 研究課題/領域番号 |
25800085
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 研究機関 | 前橋工科大学 |
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研究代表者 |
新國 裕昭 前橋工科大学, 工学部, 講師 (90609562)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 微分方程式論 / 関数解析学 / スペクトル理論 / シュレディンガー作用素 / ヒル作用素 / 周期ポテンシャル / スペクトラルギャップ / 量子グラフ |
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| 研究概要 |
2013年度は，当該研究「周期的シュレディンガー作用素のスペクトラルギャップの解析」の初年度にあたる。本研究では，周期的なポテンシャルに従うシュレディンガー作用素のスペクトル理論を「(I) 周期的一般点相互作用に従う1次元シュレディンガー作用素のスペクトルについての研究」と「(II) Zigzag nanotube 上のシュレディンガー作用素のスペクトル理論についての研究」のふたつのテーマに焦点を絞り，研究を進めている。初めに，(I)のテーマに関しては，基本周期内に4つのデルタ型点相互作用がある場合のスペクトラルギャップの退化・非退化に関する論文が，雑誌「Far East Journal of Mathematical Science」に掲載された。次に，(II)のテーマに関しては，退化ジグザグナノチューブ上のデルタ型接続条件を伴う周期的シュレディンガー作用素のスペクトルの構造，バンド端の漸近解析に関する結果を論文としては投稿中であり，研究成果の発表は，研究集会 QMath12 (於：ドイツ・ベルリン)や日本数学会函数方程式論分科会が主催する「微分方程式の総合的研究」を含む全９件の口頭発表を行った。その後，(II)のテーマについては，研究のひとつの方向性を定めることができた。実際，退化ジグザグナノチューブ上の周期的シュレディンガー作用素のスペクトルは，任意の実数値２乗可積分なポテンシャルに対して退化することのないスペクトラルギャップを含むというKorotyaev氏らの結果を掘り下げることができている。具体的には，退化ジグザグナノチューブの一般化に当たる，長さ１の線分と長さ２の円からなるグラフを一般退化ジグザグナノチューブと定義し，基本周期内に線分が１本，円が２個ある場合には，円の個数だけ退化することのないスペクトラルギャップが周期的に増える結果を確認することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
理由は，2013年度に(I)のテーマについて論文が掲載されたこと，(II)のテーマに関して国内外で９件の口頭発表を行ったこと，また日本数学会が出版する雑誌「数学」において，G. Teschl 氏の教科書の書評が掲載されたことなどが挙げられる他，(II)のテーマに関して，一般退化ジグザグナノチューブ（長さ１の線分と長さ２の円からなるグラフ）上の周期的シュレディンガー作用素のスペクトルの研究という方向性に研究が進んだことが大きな理由として挙げられる。これについて2013年度末までに得られた結果は，基本周期内に線分が１本，円が２個ある場合のものであり，この成果は論文にまとめて投稿済みの状態である。この結果はさらなる一般化の可能性を大きく秘めている。具体的には，基本周期内の円の個数を増やしていくことで，退化しないスペクトラルギャップが周期的に一つずつ増えていき，グラフの構造とスペクトラルギャップの退化・非退化の対応が一般的につけられる可能性がある。但し，円の個数が２個の時は３次方程式，３個の時は４次方程式を解く問題が絡んでくる。さしあたり，円の個数が３個の時までの拡張は可能であると予想できるため，2014年度のテーマということになると考えられる。(II)の研究に関してこのテーマで研究を進める方向性が見え，すでに初めの段階の問題（円が2個の場合）を解決しているため，当初の計画以上に進展していると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後，まず本年度の計画として，一般退化ジグザグナノチューブ（長さ1の線分，長さ2の円を周期的につなげたグラフ）上の周期的シュレディンガー作用素のスペクトル解析の可能な限りの一般化を目指す。最低限，基本周期内の円の個数が３個の場合までは解決できるであろうと予測している。また，この研究を進めていく中で，ポテンシャルの摂動のない場合をまず計算し，その結果とポテンシャルの摂動がある場合の差がほとんどないことをルーシェの定理を活用して示していくというやり方の訓練ができているように思われる。これによって，（また，数値計算などから結果をある程度予測するなどしながら）退化ジグザグナノチューブ上の異なる３つのポテンシャルを持つ場合のスペクトル解析などに着手できればと考えている。いくつか計算をしてみたところ，退化ジグザグナノチューブを定めるグラフ上に定義されるポテンシャルが１つしかない場合に表れる，１次元のディリクレ問題から生まれる多重度無限大の固有値は，異なる３つのポテンシャルがある場合にはどのポテンシャルから生じているのかというのが少し見え始めている。この部分を厳密に検証して，(II）のテーマをさらに発展させたいと考えている。また，(I)のテーマのために，Boundary value Triplet の理論の勉強も行っていく予定である。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
2013年度は，科学研究費を使用してドイツ・ベルリンで開催される研究集会「QMath12」に参加する予定であったが，同志社大学理工学研究所から30万円の助成金の支援を受け，また同志社大学から外国旅費補助として30万円の補助を受けたため，上記の研究集会への参加費と，その他予定していた国内の研究集会への参加旅費を賄うことができ，科研費の支出を抑えることとなった関係上，その分が次年度使用額として生じることとなった。
スウェーデンで開催される研究集会「OTAMP2014」への参加費用に充てるか，あるいは必要に応じて2013年度に得た研究の成果発表を行うための国内の研究集会への参加旅費として使用する。同志社大学から前橋工科大学に異動し研究環境が変わったため，研究の進度に伴い研究環境を整える（研究に必要な数学書の購入など）必要が生じた際はそれに使用するなどして活用する予定である。
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