| 研究課題/領域番号 |
25800094
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 研究機関 | 大分大学 |
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研究代表者 |
高阪 史明 大分大学, 工学部, 准教授 (20434003)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 凸解析 / 不動点理論 / 関数解析 / 非線形作用素 / 集合値写像 / 凸関数 / バナッハ空間 / ヒルベルト空間 |
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| 研究概要 |
初年度は、凸関数の凸集合上での最小点を求める問題や凸集合族の共通点を求める問題等の非線形問題を、非線形写像の不動点問題の形に定式化する方法について考察した。その際、それらの非線形問題を解く場となる空間の幾何学的構造や位相的構造が、その空間に作用する非線形写像に与える影響に着目し、凸解析や関数解析における手法を用いて研究を進めた。
以下では、今年度に発表したそれぞれの論文の概要説明を行う。
1. ヒルベルト空間 (完備な内積空間) において、非線形写像列の共通不動点を近似する問題とその応用について研究した。応用として、凸関数の最小化問題や凸集合族の共通点問題の解の近似定理を得た。本研究により、それぞれに性質の異なる二つの非線形問題が、同じ共通不動点問題の枠組みで解決できることが分かった。
2. ヒルベルト空間の一般化であるバナッハ空間 (完備なノルム空間) において、極大単調性を持つ集合値写像の零点を求める問題を、研究代表者ら [Archiv der Mathematik 91 (2008), 166-177] が導入したnonspreading写像を用いて研究した。ここでは、不動点近似列の漸近挙動と不動点の存在性についての必要十分条件が得られた。
3. ハイブリッド写像の不動点問題に関する解説を行った。研究代表者ら [Journal of Nonlinear and Convex Analysis 11 (2010), 335-343] が導入したハイブリッド写像は、ヒルベルト空間における非線形問題を議論する上で有用である。内積空間で非線形問題を研究することで、一般的な空間での研究の道筋が見えて来た。
4. 集合値写像の零点問題と不動点問題の関係についての解説を行った。ここでは、集合値写像の単調性と増大性という二つの性質と非線形写像の関係について考察した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の研究計画に従い、非線形問題を不動点問題に定式化する方策を多方面から検討したことにより、次年度以降の研究を進める上での一定の基礎が固められたのと同時に、幾つかの非線形問題の解の存在問題や解の近似問題を不動点理論の立場から解決することが出来たため。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度は、初年度の研究において考察したそれぞれの非線形写像に対する不動点問題の研究へと軸足を徐々に移し、不動点の存在問題と不動点の近似問題の解明を目指す。応用上の観点からは、解の近似方法が重要な課題となるが、数学においては解の存在性が何よりも重要であるため、不動点の存在性と不動点近似法の二つの研究を平行して進める。その際、バナッハ空間の幾何学的定数や幾何的構造、凸解析における凸関数の劣勾配・共役関数等の諸概念を用いることで、研究課題の解決へと結び付けて行く。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
当初の計画よりも物品費及び旅費の支出を抑えたため。
次年度の物品費又は旅費として使用する予定である。
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