| 研究課題/領域番号 |
25870004
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
米田 剛 東京工業大学, 理工学研究科, 准教授 (30619086)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | Euler方程式 / 渦度方程式 / 特性曲線法 / グリーン関数 |
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| 研究実績の概要 |
当該年度において、私とNotre Dame大学（インディアナ州、アメリカ）のMisiolek氏とで、2014年にBourgain-Liが導出したLarge-Lagrangian-deformationという画期的な解析手法を使ってEuler方程式が「一階微分可能な関数全体（以後C1と書く）」やそれより狭いベゾフ空間（第1指数が無限でソボレフ指数が1、第三指数が1）で非適切になることを示した。非適切性とはアダマールの意味での適切性の条件を一つでも満たさない場合をいう。C1でEuler方程式が適切になるか否かという問題は、1920年代にGyunterや Lichtensteinがヘルダー空間でEuler方程式の解の一意存在が示されて以来、95年間ずっと未解決な問題であった。なお、Pak-Park(2004)によってそのベゾフ空間でEuler方程式の解の存在と一意性が示されていることは特筆に値する。
Kiselev-Sverakは2014年に「領域が円の場合における2次元Euler流において、渦度の一階微分が時間発展によって二重指数増大する双曲型の流れが存在する」ことを示した。彼らは境界上でよどみ点をもつ双曲型の流れを使ってそのような驚くべき定理を導いた。そこで同大学の伊藤氏、三浦氏、私とで、領域に角がある場合でも、そのような双曲型の流れが果たして同様な増大度を持ち得るかどうかを追求した。角によどみ点をもつ双曲型の流れにおいては、渦度の一階微分が（よどみ点において）高々一重指数増大しかしないことを示すことが出来た。その結果は2015年1月に既にJ. Math. Fluid Mech.からアクセプトを頂いている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
交付申請書では、「流体運動の微分幾何学的考察」を主な目標としてあげているが、研究実績の概要で述べている二つの研究結果は、そのような目標を強く推進する結果である。一つ目ではLarge-Lagrangian-deformationという2014年にBourgain-Liによって創出された画期的なアイデアを用いており、このアイデアは「流体粒子に対する或る幾何学的な振る舞い」をある種数量化したものと言える。二つ目ではポテンシャル論的洞察と境界上の流体粒子の振る舞いの洞察、即ちある種の「初等幾何学的洞察」を使っている。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の概要で言及した二つの結果は、流体運動の局所的振る舞いを数学解析したものといえる。そのような「局所的な振る舞い」をより詳しくみるためには、数値計算がとても有用であろう。
研究協力者として既に名前をあげていた野津氏と斉木氏との数値計算研究が順調に進んでいる。野津氏との数値計算では、現在までのところ、ディリクレ境界上によどみ点がある双曲型流れに旋回を加えた軸対称Navier-Stokes流において、そのよどみ点付近で最大値が増大することがある、ということがわかった。この最大値の増大現象をより的確に解析することで、3次元Navier-Stokes方程式の爆発解候補（もしそのような爆発解が存在するならば）をより的確に絞り込むことが出来よう。
斉木氏との数値計算では、乱流モデルの一つであるBurgers渦を或る統計則に沿ってランダムに散りばめた「Hatakeyama-Kambeの乱流モデル」を使って、その乱流渦度場の局所次元の洞察を進めている。Constantin-Fefferman(1993)が導出した「渦度方向」という概念に基づいて我々は「渦度場の局所次元」を数量化した概念を新たに創出した。その値が大きければ大きいほど「3次元的な渦がdominant」であるということを示している。その斉木氏との数値計算では、ちりばめるBurgers渦の個数が多ければ多いほど、局所次元が低くなること、したがって（大雑把にいって）3次元構造から遠ざかることが示されている。これは、個数が多ければ多いほど、渦相互の打ち消し合いが強くなっていると考えられている。今後は、この「渦度場の局所次元」という生まれたばかりの新しい概念を、様々な数学者、物理学者との議論によって高度に洗練化させていきたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当該年度に計画していた海外出張による研究打ち合わせが次年度に変更となったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
計画していた海外出張による研究打ち合わせを計画通りに執行する。
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