| 研究課題/領域番号 |
25871053
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| 研究種目 |
若手研究(B)
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| 研究機関 | 国立情報学研究所 |
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研究代表者 |
小関 健太 国立情報学研究所, ビッグデータ数理国際研究センター, 助教 (10649122)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | Hamiltonian cycles / Tutte cycles / Graphs on surfaces / Forbidden subgraphs |
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| 研究概要 |
平成25年度は，グラフのハミルトン性を示すための重要な構造である Tutte 閉路に関しての考察を主に行った．任意の 2-連結平面グラフが Tutte 閉路を持つことは，1956年に Tutte によって証明されたが，それ以来，Tutte 閉路の存在に関する様々な結果が示されており，その証明手法も徐々に進化してきた．そして，交付申請書にも記したように，私はその既存の存在証明手法を大きく改良し，いくつかの結果を示している．平成25年度の大きな研究成果はその証明手法をさらに改良したことであり，その結果，「13.研究発表・雑誌論文」2つ目の論文を執筆している．この論文では，任意の 2-連結平面グラフにおいて，指定した 2つの 2頂点集合 X, Y に対し，X と Y を結ぶ 2本の内素な道でその和集合が Tutte 性を持つもの，の存在を示しており，これは上記の Tutte の定理の拡張となっている．
また，それ以外にも 2つの結果を得て，論文を執筆した．これらは共に，禁止部分グラフに関連するものであり，交付申請書の研究計画の (III) で記した「禁止部分グラフによって記述できるグラフにおける Tutte 閉路 (道)」への応用を考察するためのものである．「13.研究発表・雑誌論文」1つ目の論文では，禁止する部分グラフを変化させた際に，そのグラフクラスがどのように変化するか，に注目しており，そのようなグラフクラスが "結果的に同じ，または非常に近い'' ということが起こるための十分条件を与えている．また，「13.研究発表・雑誌論文」3つ目の論文では，禁止部分グラフによるグラフクラスの中で代表的な claw-free グラフに注目し，その辺彩色問題の結果を示している．
どちらの論文でも，禁止部分グラフの特徴をつかんでおり，Tutte 閉路への応用を期待している．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
平成 25年度は，研究対象の Grunbaum, Nash-Williams 予想の解決のために，Tutte 閉路のさらなる改良が目標であった．これに関しては「13.研究発表・雑誌論文」2つ目の論文によりなされている，と考えている．また，その他にもいくつかの結果を得ており，論文を執筆中である．
加えて，Tutte 閉路の考察のための研究対象であった禁止部分グラフに関しても 2つの論文を出版している．
直接的に Tutte 閉路 (道) を扱うだけでなく，Grunbaum, Nash-Williams の対象である閉曲面上グラフに関してもその特徴を考察しており，いくつかの結果を得た．
また，平成25年度のいくつかの会議において，上記の結果等を招待講演者として述べる機会もあり，その結果，自分の研究を広めるとともに他者の関連する研究・結果を得ることもでき，研究課題のさらなる広がりの手掛かりを得た．
このように，研究目的達成のための多くの結果を平成25年度に得ており，そのために区分を 「(1) 当初の計画以上に進展している」とした．
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| 今後の研究の推進方策 |
平成25年度では Tutte 閉路 (道) の改良と，研究課題である閉曲面上のグラフ，禁止部分グラフに注目した研究を行った．これらは「11.現在までの達成度」に記したように大きな進歩であるが，その考察は Grunbaum, Nash-Williams 予想の解決のためにはまだ不十分であると考えている．したがって，今後は平成25年度の研究を継続し，Tutte 閉路 (道) のさらなる改良を目指すとともに，閉曲面上のグラフ，禁止部分グラフの特徴に関しても考察する予定である．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
平成25年度は何人かの研究協力者を訪ね長期滞在する予定で旅費を申請したが，研究課題遂行のための個人研究において予想以上の成果が見られたため，一部の長期滞在の前にそれらの結果をまとめることを優先した．したがって，平成25年度の旅費の予算の一部を残し，平成26年度使用額に回すことにした．
平成26年度は個人研究の成果のまとめがほぼ終わったことから，申請し当初に予定していたよりも多く・長くの海外滞在をする予定である．したがって申請時より多くの旅費が必要となることが見込まれ，平成25年度の未使用額をこれに充てる．
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