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本研究の目的は、動く曲面上における流体の流れを支配する方程式を現象かつ理論的な観点から考察し動く曲面上での流体の流れがどのような支配のもとで流動し、その流れが変化していくかを数理的手法によって明らかにすることである。
平成２６年度は、粘性非圧縮性流体および粘性圧縮性流体に関して、外力や重力下での動く曲面上における流体の流れについての研究を行った。具体的には、外力や重力下で動いている(回転や併進運動をしている)曲面上の流れを支配している方程式の導出および曲面の動きが滑らかでかつ未知な場合におけるその曲面上での流れと曲面の動きを支配する方程式の導出を行った。動いている曲面上の流体の流れが持つエネルギー、動く曲面の持つエネルギー、と重力や外力がする仕事に着目し、外力や重力下での動く曲面上の流体の流れが満たすべき関係式を微分幾何等の数理的手法を用いて導出した。研究成果として、外力や重力下で動いている曲面上の流体の流れが、曲面の動き、曲面の曲率や重力・外力に依存していることが数学的に証明できた。また、曲面の動きに関していくつかの制約条件があることも得られた。これは、浮力(重力)や風(外力)が曲面の動きや曲面上の流れに影響していることを意味しており、実際の流体の流れを考察するうえで自然なことである。さらに、動く曲面上における流体の圧力に関しても考察を行い、曲面の動きを制限することによって、支配方程式内の圧力の式の形が変わることが得られた。非圧縮性の場合は力のつり合いから圧力が生じ、圧縮性の場合では仕事による力から圧力が生じる違いも見られた。
今後は、導出した方程式が時間大域的に解けるための曲面の動きや曲率の条件の調査と曲面の形状変化に伴う解の安定性や不安定性を調べることが課題となる。
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