| 研究課題/領域番号 |
26220701
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
日比 孝之 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (80181113)
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| 研究期間 (年度) |
2014-05-30 – 2019-03-31
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| キーワード | 可換代数 / 凸多面体 / グレブナー基底 / トーリックイデアル / 三角形分割 / マルコフ基底 / 分割表 / 実験計画 |
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| 研究実績の概要 |
科学技術振興機構の戦略的創造研究推進事業の数学領域の研究課題「現代の産業社会とグレブナー基底の調和」（通称、日比プロジェクト）は、平成 26 年 3 月、成功裏に完了した。本基盤研究は日比プロジェクトの成功を踏まえ、代数、統計、計算の盤石な研究組織を堅持し、大規模な国際会議、国際共同研究集会を組織し、グレブナー基底の国際研究組織を築く。研究面からは、統計モデルと実験計画から、可換代数の研究対象となる秘宝を発掘し、可換代数の新天地を開拓する。更に、0次元イデアルのパフィアン系の計算という視点から、伝統的な凸多面体の代数的組合せ論の研究に大胆な変革の嵐を誘う。
以下、平成２６年度の主な研究成果を列挙する。
（１）局所化のテクニックを駆使し、長方形の内部から単純なポリオミノを除去することから得られる非単純なポリオミノに付随するポリオミノイデアルが素イデアルであることの証明に成功した。
（２）トーリックイデアルの実験計画への応用の一つとして、３水準の Box--Behnken 計画に関する頻度データを扱い、Ｄ型のルート系に付随する配置の centrally symmetric な配置が、自然な統計モデルに対応することを示した。多水準の実験計画とトーリックイデアルに関する先駆的な仕事である。
（３）順序凸多面体の centrally symmetric な配置のトーリックイデアルが、原点を最弱とする逆辞書式順序に関する二次のグレブナー基底を持つことを示し、付随するファノ凸多面体が反射的凸多面体であることを証明した。更に、鎖凸多面体の centrally symmetric な配置、順序凸多面体と鎖凸多面体から構成されるファノ凸多面体などのグレブナー基底の計算から、三角形分割、Ehrhart 多項式、体積などに関するきわめて独創的な結果が導かれ、今後の研究の展開の土壌を育んだ。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
二項式イデアルの理論に関する研究として、素イデアルとなるポリオミノイデアルの斬新な類を発掘することに成功し、加えて、トーリックイデアルの理論を多水準実験計画へ応用する突破口となる独創的な仕事が遂行された。凸多面体の理論に関する研究として、グレブナー基底の計算を媒介とし、順序凸多面体と鎖凸多面体から反射的ファノ凸多面体の豊富な類を構成することに成功した。以上の結果、研究の展開としては、おおむね順調に進展していると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
本基盤研究の公式行事である、国際会議『グレブナー基底の５０年』（平成２７年７月；ホテル日航大阪）、京都大学数理解析研究所のプロジェクト研究『グレブナー基底の展望』（平成２８年度）、国際会議『可換代数の展望』（平成２９年７月；ホテル日航大阪）を実施する。
可換代数の研究面の戦略は、トーリックイデアルのグレブナー基底の理論を、多水準の実験計画に応用する土台を築くこと、及び、日比プロジェクトの成果の一つである、ホロノミック勾配法の計算の視点から、イニシャルイデアルの研究を展開することなどが挙げられる。
凸多面体の研究面の戦略は、順序凸多面体と鎖凸多面体の理論を一般化すること、凸多面体の Ehrhart 多項式の係数の符号に関する懸案の予想の解決、凸多面体の膨らましと単模三角形分割の存在の研究などが挙げられる。
順序凸多面体は、組合せ論、可換代数、代数幾何、表現論など、さまざまな分野に現れる、もっとも著名な凸多面体の類の一つである。順序凸多面体は、Ａ超幾何系の理論を経由し、統計分布論とも関連する。その類似の理論を順序凸多面体に付随するファノ凸多面体で考察する研究は、今後の課題である。
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