| 研究実績の概要 |
体K上のn変数多項式環Sの斉次イデアルIの剰余環S/Iの極小自由分解の長さはsyzygy定理からnを越えない。極小自由分解の長さpがS/Iの射影次元である。すると、S/Iのdepthはdepth(S/I) = n - pとなる（Auslander--Buchsbaum）。極小自由分解はイデアルの諸性質のほとんどの情報を含む。すると、syzygy理論のターゲットは、極小自由分解の構成に尽きる。極小自由分解に現れる次数Betti数をβ_{i,i+j}とするとき、剰余環S/Iのregularityをreg(S/I)=max{j :β_{i,i+j} ≠0}と定義する。剰余環S/Iのヒルベルト級数を分母が(1-λ)^{d}のλの有理函数と表示するとき、その分子に現れる多項式h_{S/I}(λ)をS/Iのh多項式と呼ぶ。但し、dはS/Iの次元dim(S/I)である。剰余環S/IがCohen--Macaulay環であれば、deg(h_{S/I}(λ))はreg(S/I)と一致する。研究代表者らは、正の整数sとrが与えられたとき、nを十分大きく選ぶと、deg(h_{S/I}(λ)) = s,reg(S/I) = rとなる単項式イデアルIが存在することを証明し、更に、そのような単項式イデアルがlexsegmentイデアルから選べることを示した。その後、有限単純グラフGのedgeイデアルI(G)から選べることも示した。一般に、不等式deg(h_{S/I}(λ)) - reg(S/I)≦dim(S/I) - depth(S/I)が成立するが、等号が成立するためには、S/Iの端のBetti数が唯一つとなることである。研究代表者らは、整数1≦b≦rが与えられたとき、端のBetti数がb個、reg(S/I(G)) = rとなるedgeイデアルI(G)を構成することに成功した。
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