| 研究課題/領域番号 |
26247002
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
斎藤 毅 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (70201506)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 代数学 / 数論幾何 / 特性サイクル / エタール・コホモロジー / 消失輪体 / ミルナー公式 / ラドン変換 / オイラー数 |
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| 研究実績の概要 |
正標数の代数多様体上のエタール層に対し、特性サイクルが余接束上に定義され、消失輪体に対するミルナー公式や、オイラー数に関する指数公式をみたすと期待される。代数曲面に関してはこれが無条件に成立することを証明し、これに関する論文を完成して発表した。
さらにこれの高次元化を研究した。まず、特性サイクルの台にあたる特異台が余接束の閉部分集合として存在するという仮定のもとで、特性サイクルの存在を証明した。余接束の錐的な閉集合に関して非特性的な射の概念を導入し、非特性的な射が局所非輪状性をみたすものとして、特異台を定義する。代数曲線への射の孤立特性点でのミルナー公式をみたす唯一のものとして特性サイクルが存在することを証明した。さらに代数曲線上のエタール層の指数公式であるグロタンディーク・オッグ・シャファレヴィッチの公式を帰納的に適用することにより、一般次元の代数多様体上のエタール層についても、オイラー数を特性サイクルと余接束の零切断との交点数として表す指数公式を証明した。
証明には、射影空間への埋め込みで定まる局所ラドン変換とその拡張を用いる。局所ラドン変換の構成や、証明で重要なドリーニュ・ローモンによるスワン導手の連続性の応用では、一般の底スキーム上の消失輪体の理論が有効である。証明の重要な段階として、消失輪体の不変量が代数曲線への射の微小な変形で不変であるという性質を証明する。
6月には玉原で数論幾何の研究集会を行った。9月にはIHESに滞在し研究を進めた。このほかEsnault氏、Scholze氏、Illusie氏らの数論幾何、代数幾何の研究者を海外から招聘し、研究打ち合わせを行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
特異台の存在を仮定するという条件付きの結果ではあるものの、一般次元で特性サイクルを定義し、ミルナー公式と指数公式を証明できたことは期待していた以上の大きな進展である。
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| 今後の研究の推進方策 |
特異台の存在を仮定すれば特性サイクルを構成できることがわかったので、次の課題は特異台の構成である。これを次の2つの段階にわけて考察する。1つは特異台の候補を分岐理論を拡張して構成することである。もう1つは非輪状性という特異台の重要な性質をどのように導くかという問題である。当面はこの2つめの課題から優先的にとりくむ。
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