| 研究課題/領域番号 |
26247014
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| 研究分担者 |
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
町原 秀二 埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (20346373)
和田出 秀光 金沢大学, 機械工学系, 准教授 (00466525)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | クライン・ゴルドン方程式 / フーリエ制限定理 / ハーディー型不等式 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は、相対論的場の方程式として最単純モデルと考えられるクライン・ゴルドン方程式に関する最良双線型評価を、空間一次元（時空二次元）の場合に示し、解の運動量空間に於ける台（フーリエ・サポート）の分離関係による特徴付けを与えた。また、その最良双線型評価の双対版が、単位双曲線上へのフーリエ制限評価に外ならない事も示した。コンパクト曲面に限らないフーリエ制限評価を具体的に大域的に与えた例として、これは極めて特徴的なものである。その後、対応する高次元版はC. Jeavonsによって考案され、証明が与えられた。
相互作用の臨界に位置する不等式として、臨界型ハーディーの不等式が様々な研究者によって提出されているが、臨界に現れる対数補正が特異性を起こす境界に於いて消滅するような函数空間にのみ有効なものばかりであった。そこで、本研究に於いては、特異性の発生する境界に於いて、積分が収束するように函数の発散部分を引き去る操作を導入することを試みた。その結果、大域的臨界型ハーディーの不等式を見出し、証明を与える事が出来た。一方で、特異性を斉次性によって制御する試みも行い、対数補正のある臨界型ハーディーの不等式をローレンツ空間に拡張した不等式を証明し、そこに現れる重み等の指数の関係式の最良性も論じた。
非相対論的場の方程式としては、二次の相互作用をもつ非線型シュレディンガー方程式の系（システム）の解の正則性を研究し、適切なハーディー空間を見出すことで、その理論が閉じるような方法論を考案した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画は予定通り順調に進んでおり、その段階で思いがけない着想が幾つか得られ、今後の進展に繋がる事が期待される。
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| 今後の研究の推進方策 |
クライン・ゴルドンの双線型評価は質量消滅極限において破綻するので、その様子を詳細に論じると共に、新しい双線型評価を導く。
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