| 研究課題/領域番号 |
26287001
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
宮本 雅彦 筑波大学, 数理物質系, 教授 (30125356)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 頂点作用素代数 / 軌道理論 / 軌道予想 / C2余有限性 / 有限単純群 / 自己同型群 / 有理頂点作用素代数 / モンスター単純群 |
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| 研究実績の概要 |
２６個ある散在有限単純群のうち、最大のモンスター単純群の既約表現の次元と楕円モジュラー関数の係数との極似から生まれたムーンシャイン予想を説明するために開発された頂点作用素代数は現在、数理物理の超弦理論の数学的基盤となる共形場理論を厳密にした代数版であると理解されている。有理形共形場理論（有理型頂点作用素代数）の有限自己同型群による軌道理論（固定部分代数）も有理形であろうという予想は、３０年以上前から提案されている問題であるが、ほぼ全くと言ってよいほど、進展はなく、特別な例である格子頂点作用素代数の格子部分にー１倍という特別な自己同型に対してのみ、証明されていた。また、軌道理論構成との関連で、数年前に、研究代表者により格子頂点作用素代数に対しては、位数３の自己同型という初めて奇数位数の元に対して軌道理論の有理性を証明したもの以外の結果はなかった。
ところが、本研究の前半で、研究代表者が一般の頂点作用素代数に対して、任意の有限自己同型や有限可解群に対する軌道理論の基本部分となるC2余有限性を証明した。
平成２８年度には、スコット・カーナハン氏との共同研究で、これら有限可解自己同型群を持つ有理形頂点作用素代数の軌道理論も有理形であるという有限位数の自己同型に関する古典的軌道予想の完全解決を成功させ、論文「Regularity of fixed-point vertex operator subalgebras]として書き上げ、数学雑誌に投稿した。この結果は一般ムーンシャイン予想を解決するためにも絶対必要な結果であり、非常に注目されている結果である。
更に、自己同型群が単純群の場合にも、交代群A_n など、特別な実指標を持つ有限単純群に対しては、有限性の証明に必要な内部テンソル構造の理論を開発し、海外の研究集会（台湾、台北市 Academia Sinica)で発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
数理物理における共形場理論の軌道予想（有限位数の自己同型による固定される場の理論）は、研究代表者が可解自己同型群に対して、有理形の基本部分であるC2有限性を証明するまで、ほとんど進展していなかった。それが完成し、各方面から高い評価を得ていることで、おおむね順調に進展していると判断できる。また、その結果を単純自己同型群にまで発展させることを目的とした本研究の2つ目の目標に対しても、構造の複雑な有限単純群という、非常に難しい自己同型群を対象とした問題設定にも関わらず、交代群などの特別の有限群に対しては、証明に使える手法ができつつあり、有限群の表現と頂点作用素代数というこれまであまり結び付けられてこなかった点の重要性が認識されるなど、順調に進展していると判断できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在の結果を論文として取りまとめるとともに、残りの交代群のような特別の指標を持たない有限単純群に対しても、内部テンソル積の構造を調べ、使える手法を見つけることがこれからの目標である。
また、代数幾何のK3局面と数理物理の超共形代数および有限群論のマシュー２４M２４が関係しているマシュームーンシャイン現象に対して研究を行う。研究代表者が開発したコード頂点作用素代数によるK3局面の楕円種数の記述が出来上がっており、本質的にそのコード頂点作用素代数のマシュー群M24no軌道理論が重要な役割を果たすことがわかる。それゆえ、これまでの研究結果を応用し、マシュームーンシャイン現象についても研究を進めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
ドン教授（カリフォルニア大学）やグライス教授（）たちとアメリカ合衆国で共同開催を予定していた研究集会が延期になり、その予定経費を次年度に移動させた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
上記で述べた研究集会は、次年度クロアチアと天津（中国）で分離して開催することが決まり、両方に参加し、アダモビッチ教授やドン教授たちと研究連絡を行う。
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