• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 課題ページに戻る

2015 年度 実績報告書

導来圏の安定性条件とDonaldson-Thomas不変量の研究

研究課題

研究課題/領域番号 26287002
研究機関東京大学

研究代表者

戸田 幸伸  東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 准教授 (20503882)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2019-03-31
キーワード連接層の導来圏 / Donaldson-Thomas不変量 / 非可換変形
研究実績の概要

代数多様体上の連接層の導来圏は、双有理幾何学、非可換代数、シンプレクティック幾何学とのミラー対称性等と関わる大変重要な研究対象である。3次元双有理幾何学においてはフロップと呼ばれる操作が重要であるが、このフロップによって導来圏が多くの場合で保たれることは以前から知られていた。一方、3次元フロップを2回合成すると導来圏の自己同値が得られるが、この自己同値を記述する際に層の非可換変形を用いる必要があることが近年になってDonovan-Wemyssにより発見された。昨年度の研究でDonovan-Wemyssが考察した3次元フロップに付随する非可換変形代数の次元が、Gopakumar-Vafa不変量と呼ばれる量子不変量と関わることが明らかになった。Gopakumar-Vafa不変量とは代数多様体上の曲線を数える不変量であり、連接層を数え上げるDonaldson-Thomas(DT)不変量の特別なものと理解して良い。今年度はその研究を受けて、より一般的な状況で非可換変形代数とDT不変量の関係を明らかにするための数学的基礎づけを行った。3次元フロップとは限らない一般的な状況で、代数多様体上の安定層のモジュライ空間を考えると多くの場合で射影的な代数的スキームとなる。このスキーム上にKapranovの意味でのNC構造を弱めた擬NC構造が入ることを証明した。更にこの擬NC構造を用いて、安定層のモジュライ空間上の非可換仮想構造層の概念を導入した。一方、Donaldson-Thomas不変量とは安定層のモジュライ空間を用いて定義される量子不変量であるため、この擬NC構造とDT不変量との間の関連も期待される。今後、これらの非可換構造を用いてDT不変量への応用を与える事が課題である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

安定層のモジュライ空間上に大域的な非可換構造が入ることを発見したのは予期せぬことであった。この発見により、今年度は非可換変形の研究に専念することになった。

今後の研究の推進方策

今後、今年度の研究で導入した擬NC構造を用いて定義した不変量と通常のDonaldson-Thomas不変量の関係を明らかにし、これを用いてDT不変量の未解決問題である多重被覆公式問題にアプローチする。また、通常のDT不変量のモチーフ化であるモチーフ的DT不変量についても研究を進めていきたい。安定層のモジュライ空間上の良い向き付けデータが必要不可欠であるため、これについて考えていく。

次年度使用額が生じた理由

長期海外出張により、海外から研究者を招へいする機会が例年より減ったため。

次年度使用額の使用計画

帰国後、海外研究者の招聘などに使用する。

  • 研究成果

    (11件)

すべて 2016 2015 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件、 謝辞記載あり 3件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 5件、 招待講演 5件) 図書 (1件) 備考 (1件)

  • [国際共同研究] マサチューセッツ工科(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      マサチューセッツ工科
  • [雑誌論文] Stable pair invariants on Calabi-Yau 3-folds containing P^22016

    • 著者名/発表者名
      Yukinobu Toda
    • 雑誌名

      Geometry and Topology

      巻: 20 ページ: 555-611

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] S-duality for surfaces with A_n singularities2015

    • 著者名/発表者名
      Yukinobu Toda
    • 雑誌名

      Math Ann

      巻: 363 ページ: 679-699

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] Non-commutative width and Gopakumar-Vafa invariants2015

    • 著者名/発表者名
      Yukinobu Toda
    • 雑誌名

      Manuscripta Math

      巻: 148 ページ: 521-533

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] S-duality conjecture and Donaldson-Thomas invariants2015

    • 著者名/発表者名
      Yukinobu Toda
    • 学会等名
      String-Math 2015
    • 発表場所
      Sanya International Mathematical Forum, Sanya, China
    • 年月日
      2015-12-31 – 2016-01-04
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Non-commutative virtual structure sheaves2015

    • 著者名/発表者名
      Yukinobu Toda
    • 学会等名
      Categorical and Analytic invariants in Algebraic Geometry
    • 発表場所
      Stelkov Institute, Moscow, Russia
    • 年月日
      2015-09-13 – 2015-09-18
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Non-commutative thickening of moduli spaces of stable sheaves2015

    • 著者名/発表者名
      Yukinobu Toda
    • 学会等名
      Algebraic geometry 2015
    • 発表場所
      University of Utah, Saltlake city, USA
    • 年月日
      2015-07-19 – 2015-07-25
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Non-commutative thickening of moduli spaces of stable sheaves2015

    • 著者名/発表者名
      Yukinobu Toda
    • 学会等名
      Derived categories and birational geometry
    • 発表場所
      Warwick University, Covently, UK
    • 年月日
      2015-05-31 – 2015-06-05
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Bogomolov-Gieseker type inequality and Donaldson-Thomas invariants2015

    • 著者名/発表者名
      Yukinobu Toda
    • 学会等名
      Algebraic Geometry and applications to physics and dynamics
    • 発表場所
      Chebyshev Laboratory, St Petursburg, Russia
    • 年月日
      2015-05-26 – 2015-05-31
    • 国際学会 / 招待講演
  • [図書] 連接層の導来圏に関わる諸問題2016

    • 著者名/発表者名
      戸田 幸伸
    • 総ページ数
      276
    • 出版者
      数学書房
  • [備考] 研究機関が作成したwebページ

    • URL

      http://db.ipmu.jp/member/personal/755ja.html

URL: 

公開日: 2017-01-06   更新日: 2022-01-27  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi