| 研究課題/領域番号 |
26287003
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
市野 篤史 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40347480)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 保型表現 / 周期 / 形式次数 / テータ対応 |
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| 研究実績の概要 |
Wee Teck Gan（Singapore国立大）と共同で、局所Gross-Prasad予想とテータ対応に関するPrasad予想の研究を行い、完了させた。この二つの予想は、ｐ進体上のユニタリ群の表現に関するある種の分岐則の問題を、数論的不変量であるイプシロン因子を用いて記述する。平成２５年度までの研究により証明はほぼ完了していたが、証明に現れる符号が既存の文献の結果と整合しないことが分かったため、状況の解明を行う必要に迫られた。共同研究者、当該文献の著者、また当該分野の研究者数名を交えて直接討論を行った結果、文献に誤りがあることが分かり不具合の解消に至った。
Erez Lapid（Weizmann科学研究所）、Zhengyu Mao（Rutgers大）と形式次数予想の研究を行い、ｐ進体上の奇数次特殊直交群の離散系列表現に関する形式次数予想を解決した。これも平成２５年度までの研究により証明はほぼ完了していたが、更なる応用を目指し実数体上のシンプレクティック群の二重被覆に対する形式次数の公式から、Lapid-Maoによる局所等式が従うことを証明した。この研究はLapid-Maoによる保型形式のWhittaker係数の研究に応用される。形式的な計算はｐ進体上と同様だが、積分の収束性の正当化に大きな困難が生じた。この困難をAizenbud-Gourevitchによる不変超関数に関する不確定性原理を用いて克服した。
Kartik Prasanna（Michigan大）と四元数体上の保型形式の周期の研究を行った。目標としている周期関係式の証明に必要な技術的計算をすべて完了させた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Wee Teck Ganとの局所Gross-Prasad予想とPrasad予想に関する共同研究、Erez Lapid、Zhengyu Maoとの形式次数予想に関する共同研究は、予定通りともに平成２６年度中に完了した。既に論文の執筆も終え、現在雑誌に投稿中である。
Kartik Prasannaとの四元数体上の保型形式の周期に関する共同研究は、平成２０年度から継続して行っている長期的なプロジェクトである。多くの紆余曲折を経たあと、平成２６年度に入ってついに当初の目標のために必要な技術的計算をすべて終えることができた。平行して論文の執筆を進めているが、大幅に分量が増えたため論文を３部に分割することになった。準備の論文に相当する第１部の草稿を書き上げた。
以上より、本研究は着実に一歩ずつ前進していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
Kartik Prasannaとの四元数体上の保型形式の周期に関する共著論文の完成を全力で目指す。一方でテータ対応のｐ進不可除性に関して、より精密な議論が必要となることが明らかになったため、これについて調査を行う。平成２７年度もKartik Prasannaとは頻繁に研究打ち合わせを行い、実簡約群の表現論の視点から、テータ対応とＬ関数の特殊値の関係をさらに追求する。
平成２６年度にWee Teck Ganと行った共同研究で用いた手法は、シンプレクティック群の二重被覆上の保型表現の重複度公式の証明に向けて適用できることが分かってきた。これはWaldspurgerによる結果の一般化に相当するものだが、一般には保型Ｌ関数の中心値の消滅性に関する結果がないため、Waldspurgerの証明をそのまま一般化することはできない。そこで中心値が寄与しない大域テータ対応を巧みに用いることでこの困難を回避し、特殊直交群のArthur重複度公式から目標とする重複度公式を導くことを目指す。
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