| 研究課題/領域番号 |
26287004
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
加藤 周 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40456760)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 幾何学的拡大代数 / スプリンガー対応 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は有限個の軌道を持つ多様体から生じる幾何学的拡大代数の理論の整備と、それを類似の他の設定に応用するための準備的なことをいくつか行った。
前者は単純代数群の表現論、スプリンガー対応、アフィンヘッケ代数やKhovanov-Lauda-Rouquier代数の幾何学的実現に出てくる設定を一般化して良い性質を持つ幾何学的拡大代数を実現するような幾何学的設定を設定してその下で大域次元有限性やBrauer-Humphreys相互律、それらの性質の遺伝性などを証明するものである。ここで問題となるのはそれらを真に含む良い条件を探すことであった。我々は幾何学的な設定として一般の設定では証明が難しいことが予想されている交差コホモロジーの茎の純性などは仮定せずに良いとされる上記の性質を持つものが存在することを示した(実際には我々の条件は純性を導く)。特にこのことを研究代表者がかつて導入したexotic冪零錐の設定に適用することによりその交差コホモロジーの純性やexoticスプリンガー束のコホモロジー環の特徴づけなどを導いた。(なお、純性自身は庄司-Sorlinにより独立に証明された。)
後者は、残念ながらまだ報告できるようなきちんとした命題にはなっていない。次年度に期待したい。また、上記の幾何学的拡大代数の議論を用いてスプリンガーファイバーのホモロジー群を理解することにより、スプリンガーファイバーのホモロジー群の代数的な内在的特徴づけを得た論文の掲載が決定し、その最終版を作成した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
全体の研究計画を進めてゆくための第一歩として基礎的な部分についてはそれなりに満足のいく成果が得られているように思われる。ただし、それを今まで手が届かなかった幾何学的構成に持ち上げるという観点からはあまり良いアイデアが得られていないことも確かである。
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| 今後の研究の推進方策 |
全体の研究計画の中で、既存の手法を磨くという観点ではそれなりの成果があったが、まだそれを用いて表現論的に非自明な新しい設定に適用して新しい表現論的理解を得るという方向への応用に関しては隔たりがある。現在の状態では新たな応用を探るにしても十分なアイデアがない。そこで、元々の研究計画を補完する形で、
1) 多様体の崩壊写像と幾何学的拡大代数の理論の関係を調べる.特に安定性の産むような階層化がこのような理論にどのような影響を与えるかを調べる。
2) 我々の構成から得られるような代数系の理論--たとえばアフィン最高ウェイト圏の理論--を良い状況に関する伝搬の理論--たとえばクラスター代数の理論--の中にきちんと位置付けることにより我々の幾何学的構成をより豊富にする為に何が必要なのかを明らかにする。
という研究を1年目の研究計画と2年目以降の研究計画の間に挟むような形で挿入しようと考えている(これ自体1~2年かかる可能性がある)。このような研究を挿入するにより実際にそれがどのような状況に適用できるかはさておき我々の構成が適用できるような非自明な例(とそれに適用できるような非自明な操作)を増やしてゆくことや抽象的な状況をより良く理解することを狙っている。
このことと並行して半無限旗多様体や量子コホモロジーなどを理解する代数的/幾何学的な枠組みを探り、この研究計画全体の後半にそれらをまとめあげてゆくことができればと考えている。
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