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2017 年度 実績報告書

アレクサンドロフ空間のリプシッツ構造・崩壊理論とスペクトル逆問題の新展開

研究課題

研究課題/領域番号 26287010
研究機関京都大学

研究代表者

山口 孝男  京都大学, 理学研究科, 教授 (00182444)

研究分担者 太田 慎一  大阪大学, 理学研究科, 教授 (00372558)
磯崎 洋  立命館大学, 理工学部, 授業担当講師 (90111913)
塩谷 隆  東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2019-03-31
キーワードアレクサンドロフ空間 / 境界つきリーマン多様体 / 崩壊理論 / 内半径崩壊 / オブザーバブル分散 / リーマン的曲率次元条件 / スペクトル逆問題
研究実績の概要

(山口)昨年度、断面曲率が下に、境界の第2基本形式が一様に有界であるリーマン多様体で内半径が非常に小さい、いわゆる内半径崩壊多様体の構造を解明した。今年度はその論文の修正と同時に、内半径崩壊とは限らない、より一般の境界つきリーマン多様体の崩壊理論を展開した。具体的には、極限空間の距離構造を解明し、崩壊に対する障害として、境界つき多様体のダブルの単体的体積がノンゼロであることを見い出した。ただしこの結果においては、直径に関するバウンドが必要であり、このバウンドを取り除くことは今後の課題である。更に体積について、非崩壊収束の下での体積収束性、一般の崩壊多様体の境界成分の体積比の一様有界性、境界成分が小さい場合の空間の分解定理などを得た。来年度に論文を完成させる予定である。また曲率が下に有界なアレクサンドロフ空間の鈍角定数に関する結果を修正した。比較角の代わりに実際の角を用いて鈍角定数の定義を修正し、修正された鈍角定数と直径により正規化された体積との間の関係を得た。更に修正された鈍角定数が最大値をとるような空間の特徴づけを得た。
(塩谷)測度距離空間において,そのisoperimetric profileとオブザーバブル分散の関係を見い出し、等号成立条件を求めた.これはChengの最大直径定理およびCheeger-Gromollの分割定理の一種の一般化となっている.
(太田)前年度より進めていたリーマン的曲率次元条件を満たす測度距離空間が最小の第一固有値を持つ場合の剛性定理を完成させ、論文を発表した。また距離空間上の凸関数の勾配流の研究を進め、CAT(0)空間上の準凸関数の勾配曲線の弧長の有限性に関する論文を発表した。
磯崎)ユークリッド空間内の回転面に対する与えられたガウス曲率をもつ曲面の構成問題において、再構成可能な曲面の特徴づけをスペクトル逆問題の手法によって与えた。

現在までの達成度 (段落)

29年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

29年度が最終年度であるため、記入しない。

次年度使用額が生じた理由

29年度が最終年度であるため、記入しない。

次年度使用額の使用計画

29年度が最終年度であるため、記入しない。

  • 研究成果

    (17件)

すべて 2018 2017

すべて 雑誌論文 (6件) (うち国際共著 6件、 査読あり 6件、 オープンアクセス 6件) 学会発表 (11件) (うち国際学会 10件、 招待講演 11件)

  • [雑誌論文] High-dimensional metric-measure limit of Stiefel and flag manifolds2018

    • 著者名/発表者名
      Takashi Shioya and Takatsu Asuka
    • 雑誌名

      Math. Z.

      巻: 出版中 ページ: 出版中

    • DOI

      https://doi.org/10.1007/s00209-018-2044-y

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] 測度距離幾何学~高次元および無限次元空間へのアプローチ~2018

    • 著者名/発表者名
      塩谷 隆
    • 雑誌名

      日本数学会「数学」

      巻: 出版中 ページ: 出版中

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Needle decompositions and isoperimetric inequalities in Finsler geometry2018

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 雑誌名

      J. Math. Soc. Japan

      巻: 70 ページ: 651-693

    • DOI

      10.2969/jmsj/07027604

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] New trace formulas in terms of resonances for three-dimensional Schroedinger operators2018

    • 著者名/発表者名
      H. Isozaki and E. Korotyaev
    • 雑誌名

      Russian J. of Math. Phys

      巻: 25 ページ: 27-43

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Hausdorff dimension of asymptotic self-similar sets2017

    • 著者名/発表者名
      Wu, Daruhan; Yamaguchi, Takao
    • 雑誌名

      J. Fractal Geom.

      巻: 4 ページ: 339-368

    • DOI

      10.4171/JFG/54

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Conic singularities, generalized scattering matrix, and inverse scattering on asymptotically hyperbolic surfaces2017

    • 著者名/発表者名
      H. Isozaki, Y. Kurylev and M. Lassas,
    • 雑誌名

      J. Reine Angew. Math.

      巻: 724 ページ: 53-103

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [学会発表] 境界つきリーマン多様体の崩壊2018

    • 著者名/発表者名
      Takao Yamaguchi
    • 学会等名
      日本数学会年会総合講演
    • 招待講演
  • [学会発表] Self-contracted curves in CAT(0)-spaces and their rectifiability2018

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      Conference on `Metrics and Measures', 東北大学
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Inverse scattering on graphen; vertex model and edge model2018

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Isozaki
    • 学会等名
      Seminar in geometric analysis, University of Helsinki
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Inverse scattering on perturbed periodic lattices2018

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Isozaki
    • 学会等名
      Mathematical seminar in Aarhus University
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Fibration Theorem in the theory of Collapsing2017

    • 著者名/発表者名
      Takao Yamaguchi
    • 学会等名
      Geometry seminar, Tongji Univ. China
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Collapsing three-manifolds2017

    • 著者名/発表者名
      Takao Yamaguchi
    • 学会等名
      Geometry seminar, Tongji Univ. China
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Isoperimetric rigidity and distributions of 1-Lipschitz functions2017

    • 著者名/発表者名
      Takashi Shioya
    • 学会等名
      Global Differential Geometry Workshop, Tsinghua Sanya International Mathematics Forum
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Soft isoperimetric rigidity2017

    • 著者名/発表者名
      Takashi Shioya,
    • 学会等名
      Metric Measure Spaces and Ricci Curvature,Max Planck Institute for Mathematics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] High-dimensional spaces in metric measure geometry2017

    • 著者名/発表者名
      Takashi Shioya
    • 学会等名
      Geometric Analysis on smooth and non-smooth space
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Spectral gap and rigidity under positive Ricci curvature,2017

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta,
    • 学会等名
      23rd Rolf Nevanlinna Colloquium, ETH Zurich, Switzerland.
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On weighted Ricci curvature of negative effective dimension2017

    • 著者名/発表者名
      Shin-ichi Ohta
    • 学会等名
      CMC conference: Optimal transport and related topics,
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2018-12-17  

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