グラフィクスとカンドル理論の観点からの４次元トポロジーの研究

2018 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 26287013
• 研究機関: 大阪市立大学
• 研究代表者: 鎌田 聖一 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
• 研究分担者: 河内 明夫 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00112524) ; 金信 泰造 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819) ; 大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871) ; 遠藤 久顕 東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777) ; 佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009) ; 安井 弘一 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (70547009) ; 大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 准教授 (90609091)
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: トポロジー / 曲面結び目 / グラフィクス / カンドル / ４次元トポロジー

研究実績の概要

４次元ユークリッド空間に埋め込まれた曲面結び目をmarked graph diagram と呼ばれる平面上に描かれた図式で表示する方法があり、これを用いた曲面結び目の研究が近年盛んになっている。この方法を、４次元ユークリッド空間にはめ込まれた曲面結び目について拡張した。埋め込まれた曲面結び目の marked graph diagram では、すべてのマーカー付き交点においてマーカーに沿った平滑化を施して得られる絡み目図式とマーカーに横断的な方向に平滑化を施して得られる２種類の絡み目図式が、共に自明な絡み目を表すことが条件であった。我々のアイデアは、はめ込まれた曲面結び目の marked graph diagram として、それらの絡み目図式が、H自明と呼ばれる絡み目を表す図式であるという条件に拡張した点である。この結果は、研究代表者と河村建吾によるはめ込まれた曲面結び目の標準形に基づいている。埋め込まれた曲面結び目のmarked graph diagram 表示では、吉川変形と呼ばれる基本変形が知られていたが、はめ込みのケースで、それに追加すべき変形の候補を与えた。
また、H自明な絡み目の成分数が少ないケースについて、リングモーション群というH自明絡み目が４次元空間内を運動する様子を表す群の群表示を与えることに成功した。
平成30年5月30日～6月1日に京都大学数理解析研究所で研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」を開催した。世話人は大槻知忠（分担者）と伊藤哲也で、11件の講演と約70名（外国人3名を含む）の参加者あった。平成30年9月6日～10日に大阪市立大学で国際研究集会「Four Dimensional Topology」（４次元トポロジー）を開催した。32件の講演と97名（外国人19名を含む）の参加者があった。

現在までの達成度 (段落)

平成30年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

平成30年度が最終年度であるため、記入しない。

次年度使用額が生じた理由

平成30年度が最終年度であるため、記入しない。

次年度使用額の使用計画

平成30年度が最終年度であるため、記入しない。

研究成果

• [雑誌論文] Presentation of immersed surface-links by marked graph diagrams (2018)
  • 著者名/発表者名: Seiichi Kamada, Akio Kawauchi, Jieon Kim and Sang Youl Lee
  • 雑誌名: Journal of Knot Theory and Its Ramifications 巻: 27 ページ: －
  • DOI: 10.1142/S0218216518500529
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Biquandle cohomology and state-sum invariants of links and surface-links (2018)
  • 著者名/発表者名: Seiichi Kamada, Akio Kawauchi, Jieon Kim and Sang Youl Lee
  • 雑誌名: Journal of Knot Theory and Its Ramifications 巻: 27 ページ: －
  • DOI: 10.1142/S0218216518430162
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Biquandle (co)homology and handlebody-links (2018)
  • 著者名/発表者名: Atsushi Ishii, Masahide Iwakiri, Seiichi Kamada, Jieon Kim, Shosaku Matsuzaki and Kanako Oshiro
  • 雑誌名: Journal of Knot Theory and Its Ramifications 巻: 27 ページ: －
  • DOI: 10.1142/S0218216518430113
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] On Gauss codes of virtual doodles (2018)
  • 著者名/発表者名: Andrew Bartholomew, Roger Fenn, Naoko Kamada and Seiichi Kamada
  • 雑誌名: Journal of Knot Theory and Its Ramifications 巻: 27 ページ: －
  • DOI: 10.1142/S0218216518430137
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Doodles on surfaces (2018)
  • 著者名/発表者名: Andrew Bartholomew, Roger Fenn, Naoko Kamada and Seiichi Kamada
  • 雑誌名: Journal of Knot Theory and Its Ramifications 巻: 27 ページ: －
  • DOI: 10.1142/S0218216518500712
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Faithful equivalence of equivalent ribbon surface-links (2018)
  • 著者名/発表者名: Akio Kawauchi
  • 雑誌名: Journal of Knot Theory and Its Ramifications 巻: 27 ページ: －
  • DOI: 10.1142/S0218216518430034
  • 査読あり
• [雑誌論文] Classification of a family of ribbon 2-knots with trivial Alexander polynomial (2018)
  • 著者名/発表者名: Taizo Kanenobu and Toshio Sumi
  • 雑誌名: Communications of the Korean Mathematical Society 巻: 33 ページ: 591-604
  • DOI: 10.4134/CKMS.c170222
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the asymptotic expansion of the Kashaev invariant of the knots with 6 crossings (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Ohtsuki and Y. Yokota
  • 雑誌名: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 巻: 165 ページ: 287-339
  • DOI: 10.1017/S0305004117000494
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the asymptotic expansion of the quantum SU(2) invariant at $q = exp(4 \pi \sqrt{-1}/N)$ for closed hyperbolic 3-manifolds obtained by integral surgery along the figure-eight knot (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Ohtsuki
  • 雑誌名: Algebraic & Geometric Topology 巻: 18 ページ: 4187-4274
  • DOI: 10.2140/agt.2018.18.4187
  • 査読あり
• [雑誌論文] The pass move is an unknotting operation for welded knots (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Nakamura, Y. Nakanishi, S. Satoh, and A. Yasuhara
  • 雑誌名: Topology and its Applications 巻: 247 ページ: 8-19
  • DOI: 10.1016/j.topol.2018.07.005
  • 査読あり
• [雑誌論文] Crossing changes, delta moves and sharp moves on welded knots (2018)
  • 著者名/発表者名: S. Satoh
  • 雑誌名: Rocky Mountain Journal of Mathematics 巻: 48 ページ: 967-879
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Finiteness of the set of virtual knots with a given state number (2018)
  • 著者名/発表者名: T. Nakamura, Y. Nakanishi, and S. Satoh
  • 雑誌名: Journal of Knot Theory and Its Ramifications 巻: 27 ページ: －
  • DOI: 10.1142/S0218216518500499
  • 査読あり / オープンアクセス
• [学会発表] Graphic descriptions of surface foldings and braided surfaces (2019)
  • 著者名/発表者名: Seiichi Kamada
  • 学会等名: 2019 Winter TAPU Workshop on Knot Theory and Related Topics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Quandle colorings of knots with cut points (2019)
  • 著者名/発表者名: Youngju Bae, Naoko Kamada, Seiichi Kamada, Byeorhi Kim
  • 学会等名: AMS Spring Central and Western Joint Sectional Meeting
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Twisted Alexander polynomial of a ribbon 2-knot (2019)
  • 著者名/発表者名: Taizo Kanenobu
  • 学会等名: The 14th East Asian Conference on Geometric Topology
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Shadow biquandles and local biquandles (2019)
  • 著者名/発表者名: 大城佳奈子
  • 学会等名: 日本数学会2019年度年会
• [学会発表] Calculations of twisted Alexander invariants using $f$-derivatives for quandles (2019)
  • 著者名/発表者名: Kanako Oshiro
  • 学会等名: AMS Spring Central and Western Joint Sectional Meeting
  • 国際学会
• [学会発表] Two-dimensional braids, their graphical description and application to knot theory (2018)
  • 著者名/発表者名: Seiichi Kamada
  • 学会等名: The 2018 International Conference of the Honam-Youngnam Mathematical Societies
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On virtual links which are equivalent as twisted links (2018)
  • 著者名/発表者名: Seiichi Kamada
  • 学会等名: The 10th KOOK-TAPU Joint Seminar on Knots and Related Topics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On surfaces immersed in 4-space (2018)
  • 著者名/発表者名: Seiichi Kamada
  • 学会等名: Four Dimensional Topology
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Lifting of surface foldings in dimension 3 to braided surfaces (2018)
  • 著者名/発表者名: Seiichi Kamada
  • 学会等名: The 14th East Asian Conference on Geometric Topology
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Twisted Alexander polynomial of a ribbon 2-knot of 1-fusion (2018)
  • 著者名/発表者名: Taizo Kanenobu
  • 学会等名: The 10th KOOK-TAPU Joint Seminar on Knots and Related Topics
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会・シンポジウム開催] The 14th East Asian Conference on Geometric Topology (2019)
• [学会・シンポジウム開催] Four Dimensional Topology (2018)