| 研究課題/領域番号 |
26287015
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
竹井 義次 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (00212019)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 完全WKB解析 / 可積分系 / 離散パンルベ方程式 / ストークス現象 / 接続公式 / インスタントン型形式解 / 非遺伝性変わり点 / 仮想的変わり点 |
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| 研究実績の概要 |
１．本年度はまず、N. Joshi氏（シドニー大学、豪）との共同研究により昨年に得られた変形I型離散パンルベ方程式の超級数（transseries）解のストークス現象を明示的に表す接続公式をさらに一般化するべく、離散パンルベ方程式のインスタントン型形式解の解析に取り組み、バーコフ標準形への変換を微分・差分方程式系に拡張することにより、離散パンルベ方程式に対してもインスタントン型形式解が存在することを示すのに成功した。6月に数理解析研究所で開催した国際研究集会「Exponential Asymptotics of Difference and Differential Equations」をはじめ、いくつかの研究集会でこの成果を発表した。さらに、この取り組みの中から、「バーコフ標準形を通じて（離散）パンルベ方程式から楕円函数の満たす微分方程式への変換を構成し、それを利用してインスタントン型形式解に解析的な意味付けを行う」という新たなアイデアが得られた。インスタントン型形式解の解析的な意味付けは20年来の懸案の問題であり、この問題への解決の糸口が見つかったという意味でこれは非常に大きな進展である。
２．他方、廣瀬三平氏（芝浦工業大学）や河合隆裕氏（京都大学）とのホロノミック系の完全WKB解析に関する共同研究では、線型方程式系に対する「変わり点の交差」現象の標準形を与えるPearcey系の制限を考えることにより、一般の高階常微分方程式については「非遺伝性の二重変わり点」が現れ得ることを発見した。さらに、この非遺伝性の二重変わり点は、ワイエルシュトラスの楕円函数を相函数とする積分表示式が満たすホロノミック系にも現れることが見出された。この非遺伝性の二重変わり点は非常に興味深い対象であるが、その役割を明らかにすることは今後の課題である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
インスタントン型形式解の構成が離散パンルベ方程式に対しても成功したことに加え、線型のホロノミック系の制限を考える中から非遺伝性の二重変わり点が発見されるなど、本年度も研究は順調に進展した。特に、「（離散）パンルベ方程式から楕円函数の満たす微分方程式への変換を利用することによりインスタントン型形式解に解析的な意味付けを行う」という新たなアイデアが得られた点は、20年来の懸案の問題への解決に向けての大きな一歩という意味で、非常に大きな進展と考えられる。当初の計画の中心課題であった「変わり点の交差」が起きる点での最も退化したガルニエ系へのWKB解析的な変換の構成については余り進展は見られなかったが、当初想定していなかった上記のような大きな進展が得られた点を考慮すれば、「当初の計画以上に進展している」という判断が妥当であると思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
変形I型離散パンルベ方程式の超級数解に関するストークス現象を明示的に記述する接続公式を、インスタントン型形式解や他の（離散）パンルベ方程式に拡張することは本研究の目指す目標の一つであり、そのためにもインスタントン型形式解の解析的な意味付けを確立したい。これまでの準備的な考察により、楕円函数の満たす微分方程式のインスタントン型形式解の構造はほぼ明らかになったので、（離散）パンルベ方程式に対して同様な考察を行うことが当面の課題である。これに関しては、最近のLisovyyやRoussillon等によるconformal blockに基づくI型パンルベ方程式のタウ函数に対する接続問題の解決が参考になるように思われる。こうした最新の結果を参考にしつつ、N. Joshi氏や岩木耕平氏（名古屋大学）と密接な連絡を取りながら研究を進める予定である。
また、本年度の研究により明らかになったホロノミック系に付随して現れる高階常微分方程式の非遺伝性の二重変わり点については、その役割を明らかにすることが重要な課題である。特に、その仮想的変わり点、および「変わり点の交差」現象との関連を明らかにすることは、非常に興味深い問題だと考えられる。この問題は物理学における非断熱性遷移確率の問題とも関連するので、これらの問題の完全WKB解析的な取扱いに詳しい廣瀬三平氏（芝浦工業大学）や佐々木真二氏（トロント大、カナダ）達との議論の機会を適宜設けながら、この方面の研究にも積極的に取り組んで行きたい。
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