| 研究課題/領域番号 |
26287016
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606)
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| 研究分担者 |
上田 哲生 京都大学, 理学研究科, 教授 (10127053)
稲生 啓行 京都大学, 理学研究科, 講師 (00362434)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 力学系 / 分岐 / カオス / フラクタル / くりこみ / ジュリア集合 |
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| 研究実績の概要 |
宍倉は、無理的中立不動点を持つ複素力学系の局所不変集合を近放物型くりこみを用いて研究した。稲生との共同研究で得られた、近放物型くりこみで不変な関数族とその上へのくりこみ写像の作用の双曲性を、個々の力学系の性質の研究に応用するために、力学系的チャートの概念を導入した。チャートをインデックス付けする記号列空間とその極限として、無理数回転を記号力学系として記述するDenjoy odometerの研究を行った。これにより、無理的中立不動点の近傍の不変集合であるHedgehogのhairの構造の理解が深まった。
また、木坂正史と共同で、ある種の超越性関数のEscaping setの構造を研究し、一定の条件の下でEscaping setが無限回微分可能な曲線を含むことを示した。
さらに、1次元複素力学系が吸引的周期点やSiegel円盤，Herman円環をもつときに，それらのRiemann球面上の配置を記述するための概念として，樹木とその上の区分的線型写像を導入した．これを，トロピカル幾何学の類似として，トロピカル複素力学系と呼んだ．これを用いて，手術による複素力学系の構成や，与えられた配置を実現する有理関数の次数の評価などを行った．
稲生は、臨界点が1つの反正則多項式族において、奇数周期の双曲成分に収束する外射線や「へその緒」が、自明な場合を除いて1点に収束しないことを示した。特に、Mandelbrot集合の持つ自己相似性はこの場合には成立しない(Mukherjee氏との共同研究)。
上田は、高次元複素力学系の問題を多変数関数論の立場から研究した．特に２次元正則写像の半放物型不動点の構造とその分岐による吸引領域と不安定多様体の連続性について考察した． また射影空間の反復合成に関して有限分岐的な写像の性質を研究した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
くりこみを用いた分岐現象の研究については、特に複素力学系の無理的中立不動点のダイナミックスに対するくりこみ理論の応用について進展があった。特にくりこみに対するアプリオリ評価や双曲性がある場合に、それをどのように個々の力学系の性質に還元するかは大きな問題であったが、力学系チャートの理論や、付随する記号力学家の表現などにより、元の力学系のくりこみ写像からの再構成が可能になった。
パズル分割を用いる分岐現象の研究については、現在のところ理論的な枠組みについて整備中であり、新年度のも引き続き研究を進めたい。
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| 今後の研究の推進方策 |
くりこみを用いた分岐現象の研究に関しては、CheritatやCheraghiなどが稲生と宍倉の理論の応用について，いくつか新しい結果を得ており、彼らと緊密に連絡を取ってより多く、深い応用を得られるように努力したい。
パズル分割を用いた分岐現象の研究については、従来のJakobson, Benedicks-Carleson, 辻井らの研究を記号力学系的アプローチと複素函数論に置き換えることによって、より精密な結果を得ることを目指したい。そのためには、彼らの従来の定量的研究とYoccozの組み合わせて危険球の橋渡しをするような視点が必要であり、他の多くの数学者との情報交換を行いながら研究を進めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究の遂行のために、南京大学、Cornell大学、Banff International Research Station等の研究集会に参加したが、招待講演を行ったため、滞在費等は先方支給となった。そのため、年度当初の予定よりも支出額が少なくなった。また、今年度３つの研究集会を共同主催者として開催し、その際の会議費を科研費から支出することを予定していたが、そのうち2つについては、事務の支出許可が得られなかったために支出することができなかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
この分野の研究に関する最新の情報を交換し、自分の研究について発表するために、いくつかの研究集会に出席する。
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