| 研究課題/領域番号 |
26287016
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
宍倉 光広 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70192606)
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| 研究分担者 |
稲生 啓行 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 講師 (00362434)
上田 哲生 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10127053)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 力学系 / 分岐 / カオス / フラクタル / くりこみ |
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| 研究実績の概要 |
複素力学系のパラメータを変化させ、退化させたときに起きる現象を、ある種の樹木とその上の区分線形写像を用いて記述することが出来る場合がある。擬等角変形によるStretching deformationの極限の場合には、宍倉による先行研究があるが、近年M. Arfeuxによる別のタイプの退化極限が研究された。どちらの場合にも、逆に樹木とその上の区分線形写像が与えられたときに、その極限をもつような族が構成できるかは重要な問題であるが、宍倉とM. Arfeuxによる共同研究により、2次有理関数族の場合にこの構成を定式化することが出来た。
また、宍倉は、Marti Peteとの共同研究において、Arnold familyと呼ばれる超越性関数の族(それは指数関数を通して穴あき平面の写像と半共役になる)について研究を行った。まず、様々な分岐現象を追跡できるソフトウェアを開発し、各種の非線型性の度合いに応じてその分岐集合の変化を観察した。そこで、次年度研究につなげるべく、無限遠でのHair状不変集合の存在とその構成法、その実軸付近での挙動、放物型分岐あるいは実パラメータの近くの衛星型双曲成分内に、指状の分岐領域が存在することを確認し、それを説明するためのモデルを作った。
上田は、複素２変数写像の半放物的不動点の摂動に関して，E.Bedford(Stony Brook Univ.),J. Smillie (Univ. of Warwick) と共同研究を行った．またコンパクト複素多様体上のアフィン束上に存在する多重劣調和函数について小池貴之（京大）との共同研究を行った．
稲生は、反正則2次多項式族の双曲成分の境界の到達不可能性に関する部分的な結果を得た。また数値実験で観察された到達可能と見られる例や、境界と分岐測度の台との関係についても現在研究を進めている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
複素力学系の退化極限の問題は、最終目標は、一般的な有理関数族の研究であるが、まだわからないことも多いので、具体的な2次有理関数族の場合から手を付けている。2次有理関数族について逆問題の構成アルゴリズムが定式化されつつあるのは大きな進展である。
Arnold familyは実相空間や実パラメータについては数多くの研究があるが、それを複素相空間、複素パラメータに関して調べて研究はまだ少ない。現状は、また分岐集合を様々に描画して予想を立てている段階であるが、次年度に具体的な予想の確立と証明に手をつけられる段階まで来た。
反正則2次多項式族については、分岐集合の位相的性質について研究が大きく進展しつつある。
今年度は上記項目に注力したために、くりこみを用いた分岐現象の研究について十分時間を割けなかったが、非常に重要な問題であるので、引き続き研究を行っていきたい。
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| 今後の研究の推進方策 |
複素力学系の退化極限の問題は、2次有理関数族の場合に構成を行うことが出来たので、今後はより高い次数の場合も含めた一般的な定式化を目指したい。代数的な非アルキメデス的体上の力学系との関係を今後調べていく。
複素力学系のくりこみ理論は、まだ未解決問題が多く、特に近放物型くりこみの適用範囲がどこまでになるかという問題は、重要であるので、重点的に研究したい。
Arnold familyについては、Hairや指状分岐集合について、具体的な予想の確立し、それを証明していく。
反正則2次多項式族については、分岐集合の位相的性質が詳しくわかってきたので、今度は分岐測度などの計量的な研究を進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
temp2016年度は、奥山裕介氏が代表者、宍倉が副代表者となり、12月12日から16日まで数理解析研究所において「Complex Dynamical Systems and realted topics」を開催し、数多くの海外の研究者を招聘した。数理解析研究所の研究会補助や参加者個人の科研費などで、旅費全額または一部を支出することが出来、当初の予定よりも旅費の支出額が少なくなった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
今年度は、宍倉が代表者となり、12月11日から15日まで数理解析研究所において複素力学系の国際研究集会を開催する予定であり、今年度も数多くの海外の研究者を招聘するよていである。
また、代表者および分担者も国際研究集会に出席し、研究の発表・情報交換を行う予定である。
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