フラクタルにおける代数的・幾何学的構造と解析の相互的な関わりの研究

2016 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 26287017
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
• 研究分担者: 相川 弘明 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20137889) ; 桑田 和正 東京工業大学, その他部局等, 准教授 (30432032) ; 日野 正訓 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40303888) ; 角 大輝 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40313324) ; 秋山 茂樹 筑波大学, 数理物質科学研究科(系), 教授 (60212445) ; 宍倉 光広 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70192606) ; 熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509) ; 梶野 直孝 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90700352)
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2017-03-31
• キーワード: フラクタル / 力学系 / 自己相似集合 / 確率過程 / 熱核

研究実績の概要

研究代表者木上は、University of Stuttgart の Freiburg 教授、University of Ulm の Alonso Ruiz 博士との共同研究で、Stretched Sierpinski gasket と呼ばれる Sierpinski gasket の全ての分岐点を線分で置き換えた集合上の幾何学的な対称性をもつ resistance form の研究を行った。この Stretched Sierpinski gasket はフラクタルである Sierpinski gasket と線分のハイブリッドであり、その上での解析学・確率過程も、フラクタルと線分のどちらの性質がより反映されるのかが問題となっている。共同研究においては、幾何学的な対称性をもつ resistance form は、線分上の Dirichlet 積分の重み付きの和と Sierpinski gasket 上の standard resistance form の部分に分解されることを示しさらに、Dirichlet 積分の重みとしてどのような重みが許されるかについて完全な分類を行った。
研究分担者相川は、非有界集合の容量密度について考察した．半径一定の球に対する容量密度の中心を動かしたときの下限（下容量密度）を研究し，半径を大きくしたときの下容量密度の極限値は0か1に限る0-1法則（dichotomy）を様々な状況で示した．また下容量密度極限のdichotomyが成立しない容量を与えた．この問題はラプラシアンの最小固有値と関係があり，ユークリッド空間に限らず，距離測度空間へ発展していくことを明らかにした。
研究分担者熊谷は、一般の距離付き測度空間における楕円型ハルナック不等式および放物型ハルナック不等式の同値条件を研究し、これらの不等式の安定性を証明した。

現在までの達成度 (段落)

28年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

28年度が最終年度であるため、記入しない。

次年度使用額が生じた理由

28年度が最終年度であるため、記入しない。

次年度使用額の使用計画

28年度が最終年度であるため、記入しない。

研究成果

• [国際共同研究] University of Stuttgart/University of Ulm(Germany)
  • 国名: ドイツ
  • 外国機関名: University of Stuttgart/University of Ulm
• [国際共同研究] University of British Columbia(Canada)
  • 国名: カナダ
  • 外国機関名: University of British Columbia
• [国際共同研究] University of Washington(米国)
  • 国名: 米国
  • 外国機関名: University of Washington
• [国際共同研究] リンショーピング大学(スウェーデン)
  • 国名: スウェーデン
  • 外国機関名: リンショーピング大学
• [雑誌論文] Time changes of the Brownian motion: Poincar{\'e} inequality, heat kernel estimate and protodistance (2019)
  • 著者名/発表者名: J. Kigami
  • 雑誌名: Memoirs of American Mathematical Society 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Completely symmetric resistance forms on the stretched Sierpinski gasket (2018)
  • 著者名/発表者名: P. Alonso Ruiz, U. Freiberg and J. Kigami
  • 雑誌名: Journal of Fractal Geometry 巻: 印刷中 ページ: 印刷中
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Subsequential scaling limits of simple random walk on the two dimensional uniform spanning tree (2017)
  • 著者名/発表者名: M. T. Barlow, D. A. Croydon and T. Kumagai
  • 雑誌名: Ann. Prob. 巻: 45 ページ: 4-55
  • DOI: 10.1214/15-AOP1030
  • 査読あり / 国際共著
• [雑誌論文] Dichotomy of global density of Riesz capacity (2016)
  • 著者名/発表者名: H. Aikawa
  • 雑誌名: Studia Math. 巻: 232 ページ: 267-278
  • DOI: 10.4064/sm8511-4-2016
  • 査読あり
• [学会発表] Monotonicity and Rigidity of the W-entropy on RCD (0,N) spaces (2016)
  • 著者名/発表者名: K. Kuwada
  • 学会等名: Optimal transport and applications
  • 発表場所: Scuola Normale Superiore, Pisa,(Italy)
  • 年月日: 2016-11-10
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Stability of hear kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for jump processes on metric measure spaces (2016)
  • 著者名/発表者名: T. Kumagai
  • 学会等名: SPDE and Related Fields
  • 発表場所: Bielefeld(Germany)
  • 年月日: 2016-10-10
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Completely symmetric resistance forms on the Stretched Sierpinski gasket (2016)
  • 著者名/発表者名: J. Kigami
  • 学会等名: 2016 Summer School on Fractal Geometry and Complex Dimensions
  • 発表場所: California Polytechnic State University, San Luis Obispo(USA)
  • 年月日: 2016-06-29
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Boundary Harnack Principle and smoothness of the domain (2016)
  • 著者名/発表者名: H. Aikawa
  • 学会等名: XVIIIth Conference on Analytic Functions and Related Topics
  • 発表場所: Chelm (Poland)
  • 年月日: 2016-06-26 – 2016-06-29
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Dichotomy of global capacity density (2016)
  • 著者名/発表者名: H. Aikawa
  • 学会等名: International Conference on Complex Analysis and Related Topics
  • 発表場所: Bucharest(Romania)
  • 年月日: 2016-06-20 – 2016-06-24
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Integrated version of Varadhan's asymptotics for first-order perturbations of strong local Dirichlet forms (2016)
  • 著者名/発表者名: M. Hino
  • 学会等名: The 8th International Conference on Stochastic Analysis and Its Applications
  • 発表場所: Beijing Institute of Technology, 北京（中国）
  • 年月日: 2016-06-13
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Time change of Brownian motion; Poincare inequality and Protodistance (2016)
  • 著者名/発表者名: J. Kigami
  • 学会等名: Lorenz center workshop; Fractality and Fractionality
  • 発表場所: Lorenz center, Leoden(Netherlands)
  • 年月日: 2016-05-18
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Localized upper bounds of heat kernels for diffusions via a multiple Dynkin-Hunt formula (2016)
  • 著者名/発表者名: N. Kajino
  • 学会等名: Workshop on SDEs and Stochastic Processes
  • 発表場所: Chern Institute of Mathematics, Nankai University, Tianjin(China)
  • 年月日: 2016-04-28
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Tropical Complex Dynamics (2016)
  • 著者名/発表者名: M. Shishikura
  • 学会等名: Taking the Measure of One-Dimensional Dynamics
  • 発表場所: Lorentz Center, Leiden(Netherlands)
  • 年月日: 2016-04-12
  • 国際学会 / 招待講演