| 研究課題/領域番号 |
26287018
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
山田 泰彦 神戸大学, 理学研究科, 教授 (00202383)
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| 研究分担者 |
太田 泰広 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745)
野海 正俊 神戸大学, 理学研究科, 教授 (80164672)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | パンルヴェ系 / モノドロミー保存変形 / 差分系 / ラックス形式 / 超離散 |
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| 研究実績の概要 |
山田（研究代表者）、野海正俊（研究分担者）および梶原健司（九大）は、幾何学的観点から、連続的および離散的パンルヴェ方程式について研究した。その主要な目標は、２個の射影直線の積上の8個の点の配置に関する幾何学的構造を基礎とした、アフィン・ワイル群の双有理表現、パンルヴェ方程式、ラックス形式、および超幾何型特殊解の系統的な構成である。これについて過去10年以上にわたる研究の蓄積を整理し、その結果をまとめた論文を完成させた。この論文は J. Physics 誌 の topical review として掲載が決定している。新しい結果も含んでおり、今後の研究の基礎となる成果と考えている。
太田泰広（研究分担者）は、丸野健一（早稲田大）、B-F.Feng(米国テキサス大)等との共同研究により、可積分な離散化に基づく差分方程式系の自己適合移動格子スキー ムの方法を進展させ、その適用範囲をさらに広げた(J. Phys. Aに論文発表)。
山田と長尾（明石高専）は、パデ法を用いたq-差分ガルニエ系の研究を進め、方程式の簡単化、特殊解の構成を行った。特殊解として、q-アッペル-ローリセラ関数による表示と一般超幾何関数による表示を得た。副産物として、楕円曲線に付随する離散可積分力学系として知られているQRT系の超楕円曲線への拡張を与えた。さらに、q-ガルニエ系やq-パンルヴェ系として、従来の標準的な方向とは異なる変形方向について、従来型と同様の因子化された方程式も得た(論文投稿中)。山田とOrmerod(米国カリフォルニア大)は、超離散パンルヴェ方程式の多角形構造について研究し、トロピカルなワイル群の作用に対して、簡明な図形的意味を与えた。この結果は SIGMA 誌( DOI : 10.3842/SIGMA. 2015.056)に発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
山田（研究代表者）、野海正俊（研究分担者）、梶原健司（九大）による、幾何学的観点からのパンルヴェ方程式についての研究により、パンルヴェ系の幾何的構造について離散系・連続系を含め統一的に扱える枠組みが完成した。これにより、当初の主要目的であるパンルヴェ系の量子化についても確実な基礎ができた。また、山田、長尾（明石高専）との共同研究により、パデ法の適用範囲が離散ガルニエ系も含めて大きく広がった。これにより、式が複雑なために、これまであまり研究が進んでいなかった離散ガルニエ系が、簡明な表示で扱えられるようになり、その量子化についても可能性が出てきた。山田とOrmerodによる超離散パンルヴェ方程式の研究は、ゲージ理論における類似の構造が見出されており、量子化の探索に対する手がかりが得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
q-ガルニエ系について昨年度の研究で得られた知見を、さらに発展させることを当面の課題とする。特に、q-差分の一般超幾何関数とq-アッペル-ローリセラ関数との関係について、微分の場合の津田による先行研究をヒントにして、その一般化およびモノドロミー保存変形への応用を考える。
また、パデ法の適用範囲が広がったことを利用して、種々の変形方向についての方程式や解の構造に関する系統的な研究を進めていく。このため、津田（一橋大）、真野（琉球大）、中屋敷（津田塾大）、鈴木（近畿大）等との情報交換をさらに緊密にしていく。一方、数理物理分野において、AGT対応との関連からq-変形共形場理論の相関関数の研究が進んでいる。この状況を踏まえて、q-変形共形場理論とq-差分パンルヴェ・ガルニエ系およびその量子化との関係について研究を進める。このために、名古屋大、大阪市立大等の関連する数理物理の研究グループとの情報交換に努める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
計算機の更新を予定よりも安価に実現できたため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
新しい展開が期待されるq-ガルニエ系等の研究を加速するため、関連する研究者による研究会や勉強会を開催する。次年度使用額は、このための旅費補助に活用する。
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