| 研究課題/領域番号 |
26287018
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
山田 泰彦 神戸大学, 理学研究科, 教授 (00202383)
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| 研究分担者 |
太田 泰広 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745)
野海 正俊 神戸大学, 理学研究科, 教授 (80164672)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | モノドロミー保存変形 / ラックス形式 / 量子化 / パデ法 / 自励化 |
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| 研究実績の概要 |
申請時に記載した研究目的は、次の通りである。「本研究の目的は、パンルヴェ系を雛形とするモノドロミー保存変形方程式の、高階化、多変数化などの種々の拡張と、その量子化を探求することである。時に、ラックス形式の量子化の構成、その対称性、特殊解の解明を目標としている、合わせて、共形場理論やゲージ理論との対応についても平行して研究し、それを手がかりとして、パンルヴェ系の良い一般化および良い量子化を探る。」
最終年度に当たる本年度(平成30年度)の研究では、昨年までの研究で明らかにした、差分ガルニエ系の種々の定式化をもとに、その可積分構造の解明を中心に研究を進めた。特に、q-差分系の場合に、量子化の基礎となる正準構造について一般的な理解が得られた（論文準備中）。また、分担者の太田はYajima-Oikawa系の厳密解の理論をさらに進展させた。
本研究課題と密接に関連する差分可積分系分野の主要な国際会議であるSIDE13（隔年開催）を11月11日-17日に福岡で開催した。研究代表者(山田)と分担者(野海)が組織委員として運営に協力すると共に、本研究課題の補助金を、招待講演者への旅費等に活用した。また、本研究の代表者、分担者1名が招待講演を行った。
山田と野海、およびSIDE13の招待講演者の１人であるS.Ruijsenaarsは、楕円的な量子多体可積分系の重要な例であるvan Diejen模型と楕円差分パンルヴェ方程式の対応について共同研究を行い、具体的な対応関係を明らかにすることができた。結果を論文"The elliptic Painleve Lax equation vs. van Diejen's 8-coupling elliptic Hamiltonian"にまとめ現在査読中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
この数年間でパデ法の技術が着実に前進し、その適用範囲が大きく広がった。特に、（差分）ガルニエ系について、楕円差分版も含めた明快な構成が得られたことにより、幾何学的な構造が大変明瞭になった。これにより、モノドロミー保存変形の高階化、多変数化に対する基本的な枠組みの１つとなると考えられる。
最終目標である量子化については、本研究の初期に得られた微分系の場合と同様な結果までには達していないが、古典ラックス形式と量子可積分系との対応を楕円差分系に拡張する(Noumi, Ruijsenaars, Yamadaの共同研究)などの成果を得た（論文投稿中）。また、この研究に関連して、q差分ガルニエ系に付随する離散自励可積分系の正準構造の理解に前進があった。
2018年1月にDubna(ロシア)で行った講義内容を論文"Theory and applications of the elliptic Painleve equation"にまとめた。他の執筆者の事情により出版時期は不明である。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究においてその背景の１つとなったAGT対応(2次元共形場理論と4次元超対称ゲージ理論の対応)は、この10年で大きく進展し, Virasoro代数やそのq変形を広範に拡張した様々な代数構造(W代数、アフィンヤンギアン、トロイダル代数、アフィンヘッケ代数など）が議論されるようになった。こうした代数構造とモノドロミー保存変形との関連は重要な問題である。本研究で明らかになった自励的qガルニエ系のスペクトル曲線とゲージ理論・弦理論における(p,q)-brane webとの対応を手がかりとして、可積分系及の観点からの研究を引き続き進展させる。
また、多変数の可積分系を扱う一般的な枠組みの１つにクラスター代数を用いた方法があり、最近、そのモノドロミー保存変形への応用が様々なグループにより扱われるようになってきた。この方法による量子化の考察も始められており、本研究課題との関連も深い。前述の種々の代数構造や場の理論・弦理論との関連も含め、広く情報を収集しながら研究を進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2018年度後半に進展のあったRuijsenaars氏との共同研究及びその関連の研究が2019年度以降も継続する見込みとなったため、これらの研究の完成に必要な旅費等を翌年度分として請求した。
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