| 研究課題/領域番号 |
26287021
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| 研究機関 | 東京学芸大学 |
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研究代表者 |
溝口 紀子 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (00251570)
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| 研究分担者 |
仙葉 隆 九州工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (30196985)
高田 了 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (50713236)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 関数方程式論 / 爆発 / 放物型方程式系 |
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| 研究実績の概要 |
KellerとSegelによってバクテリアの集中現象のモデル化として提唱された放物型―放物型の走化性方程式系における解の爆発が実験結果と同様に頻繁に起こることを数学的に証明することは過去数十年の間重要な未解決問題とされていた。３年前に溝口―Winklerによって球対称の場合に肯定的に解決された。
本研究では、高次元における退化臨界型のKeller-Segel系にも適用可能な新しい証明を得た。一方、爆発解がどのような振る舞いをするかについてはデルタ関数の特異性をもつことが知られているのみである。デルタ関数の特異性は解の爆発の速度や爆発のプロファイルなどについての情報を含んでいない。非線形偏微分方程式では常微分方程式と異なり空間的な要素が複雑に絡むので、解の爆発の速度を知ることは難しい。また、爆発の速度は爆発解の挙動を解明するための最初のステップである。後方自己相似解と同じ速度での爆発はタイプI、それより速い速度での爆発はタイプIIと分類されている。本研究では、球対称の場合に放物型―放物型の走化性方程式系の解の爆発はタイプIIしかないことを証明した。そこで開発した手法は他の方程式への応用が期待される。
走化性方程式系は流体の方程式であるナヴィエ・ストークス方程式とも関連があるが、大気や海洋などの大規模な地球流体の運動を記述する回転 Boussinesq 方程式について、温度成層と回転に対応した線形作用素から生成される時間発展作用素に対して分散型評価および時空積分評価を確立し、その応用として方程式の時間大域的適切性と静力学平衡の漸近安定性を保障する初期擾乱の大きさと浮力周波数の大きさに関する十分条件を与えた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
Keller-Segel系の爆発はこれまで単純化された方程式系に関するものだけであったが、溝口-Winklerによるブレイクスルーによって本来のシステムである放物型―放物型の爆発問題の研究が始まった。本年度は、高次元の退化臨界型のKeller-Segel系にも適用可能な新しい証明を得ることにより、さらに研究対象が広まった。また、爆発解の定性的な研究の端緒となる解の爆発の速度がタイプIIであることを球対称の場合に証明でき、そこで開発した手法の他の方程式への応用も期待される。さらに、高次元での退化臨界型における爆発もタイプIIであることの証明にも取り掛かった。
一方、流体の方程式であるナヴィエ・ストークス方程式との関連も考察しているので、当初の計画以上に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでは放物型―放物型の走化性方程式系の爆発問題を球対称の場合に制限して考察してきた。今後の研究では、球対称性の仮定を除いて一般的な状況で爆発解の存在やさらにその挙動の研究を行う。一般の場合の爆発のメカニズムの解明は数学だけでなく生物や宇宙物理などの応用の観点からも重要である。比較定理が適用可能な単独の放物型方程式で球対称性を仮定する場合は解の交点数の議論が一般の場合には破綻する。しかし、走化性方程式系における我々の証明で球対称性が必要だったのは評価を簡単にするためであった。したがって、新しい手法を開発することにより一般の場合を扱うことは不可能ではない。走化性方程式系だけでなく他の方程式における新しい結果にも注目しながら広い視野で研究を進めていく。
また、ナヴィエ・ストークス方程式との関連を意識することによって、解の爆発後の振る舞いを特定できる可能性が出て来たのでその研究を推進する。その過程で移送方程式において最近発展している方法を応用することも視野に入れている。研究分担者や以前の単独の放物型方程式関連の研究コミュニティだけでなく、これまで交流のなかった分野の研究者が本研究の成果を知り興味を持ってくれるようになったので、さらに研究の幅を広げ新たな視点で研究を進めていく。実際、海外出張で行った優れた研究者との直接の議論は非常に有意義であったし、これからもできる限りそれを続ける。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究目的で述べた研究がスピーディーに進行したので他の分野の専門家からの専門知識を必要としなかったために、謝金を必要としなかった。また、同様の理由により国内出張が予定より少なかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
流体の方程式との関連を考察することにより海外の流体の専門家との共同研究が可能になったので、次年度以降に海外への出張旅費または招聘費用として使用する。
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