| 研究課題/領域番号 |
26287021
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| 研究機関 | 東京学芸大学 |
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研究代表者 |
溝口 紀子 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (00251570)
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| 研究分担者 |
仙葉 隆 福岡大学, 理学部, 教授 (30196985)
高田 了 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (50713236)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 爆発 / 走化性 / 特異性 |
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| 研究実績の概要 |
一般に偏微分方程式の解が有限時間で爆発するとき、後方自己相似爆発解（それが存在するかどうかに関わらず）の速度以下での爆発はタイプI、それより速い速度での爆発はタイプIIと分類されている。放物型―楕円型の走化性方程式系（Keller-Segel系）ではタイプIIの爆発しか起こらないことは以前から知られていた。一方、放物型―放物型の走化性方程式系については２７年度の研究で球対称解についてはタイプIの爆発の可能性を排除し、有界領域で解の球対称性の制限も除いたが、２８年度は領域も有界領域、全平面ともに扱い、完全に一般的な設定でタイプIIの爆発しか起こらないことを証明した。放物型―放物型走化性方程式系の有界領域において有限時間で爆発する解の存在は数年前に研究代表者によって証明されたが、その証明で中心的な役割を果たしたエネルギーに関する議論は全平面ではうまく働かない。全平面では任意に大きい質量をもつ前方自己相似解が存在し、かつそのエネルギーは時間が経つとマイナス∞に発散するからである。したがって、どのような条件のもとで解は爆発するのか、さらに、すべての解の爆発とある時間大域解の存在を分ける指標となるべきものは何であるのかが全く分かっていない。２８年度はこの問題に取り組み部分的な結果を得るとともに、さらに完全な解決につながる糸口を見つけた。
高田了氏は、回転と安定成層の影響を考慮した Boussinesq 方程式の研究を行った。昨年度までの研究で得られていた回転と安定成層に対する分散型評価の応用として時間周期問題を考察し、同方程式の時間周期解の一意存在を保証する時間周期的外力項の大きさが回転速度および浮力周波数に応じて大きく取れることを証明した。また、外力項の空間無限遠での減衰の仮定に関しても回転と安定成層による分散性を用いることで、スケール劣臨界な空間へ条件を弱めることに成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Navier - Stokes方程式との関連や調和写像の熱流との関連も考察しながら研究を進めており、研究の幅が広がるだけでなく新しい視点を取り入れている。有界領域における爆発問題ではエネルギーを用いた評価と定常解の性質をうまく組み合わせることが証明の主な要素であったが、全平面の場合、任意に大きい質量をもつ前方自己相似解が存在し、時間が経つとそのエネルギーはマイナス∞に発散する。したがって、初期エネルギーがある数値より小さければ爆発すると言う有界領域における定理は成立しない。平面全体における放物型―放物型走化性方程式系の解の爆発を扱うためには新たな洞察とアイディアが必要となるが、それにも取り組み始め部分的な結果を得た。さらに研究を進めてこれが解決すれば走化性方程式系の解の爆発を総合的に捉えることができる。全体的にみて、順調に進展していると考える。
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| 今後の研究の推進方策 |
放物型―放物型走化性方程式系は、バクテリアの集中現象のモデル化によってもたらされた方程式系である。化学物質の密度の高い場所へ細胞が移動することによって起こる集中現象が方程式系の導入の起源となっていることを象徴する輸送項によって、爆発問題の研究が進んでいる他の放物型方程式で用いられた標準的な方法が適用できない。現れる数学的な現象は調和写像の熱流やシュレディンガー方程式の臨界の場合と似ているが、方程式の形式が異なるのでそこで効果的であった方法は走化性方程式系ではうまく働かない。したがって、放物型―放物型走化性方程式系の解の爆発を考察するためには新しい手法を発見・開発しなければならない。Navier-Stokes方程式に関する世界的な権威であるV.Sverak氏が本研究の結果に興味をもち、ミネソタ大学で直接何度も議論を重ねてきた。このように他の分野の研究者との議論を通して新しい視点を取り入れながら本研究を進めることは本研究にとって有効である。また、偏微分方程式の研究では数値シミュレーションを活用する方法も国内外で行われているが、本研究においてもどのような結果が正しいのか予想するために数値解析の専門家との連携も考慮する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
放物型―放物型の走化性方程式系の解の有限時間における爆発に関しては 長年未解決問題とされてきたが、研究代表者がブレイクスルーとなる結果を発表し研究のきっかけを作った。この爆発問題を扱うためのノウハウは今のところ研究代表者のところにある。それが拡散する前にさらなる進展を得るために直近の研究に集中した方が良いと考えて、国内出張を控え研究集会も開催しなかったのでそのための旅費を使用しなかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究を進めていく過程で，Navier-Stokes方程式との関連もあることが分かり、その分野の世界的権威のV. Sverak氏の協力を得ることができるようになった。彼の大学に出張して直接議論を重ねたことは非常に価値あるものになった。実のある議論を行うためにはある程度まとまった期間、出張する必要があるので、次年度以降にそのような議論のための海外出張旅費として使用する。
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