| 研究課題/領域番号 |
26287022
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
杉本 充 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60196756)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 超局所解析 / 偏微分方程式 / 定量的解析 / フーリエ積分作用素 / 関数空間 |
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| 研究実績の概要 |
この研究は、偏微分方程式における解のなめらかさや大きさなど定量的な性質の解析において、超局所解析の手法を取り込むための汎用性のある方法論を構築し、偏微分方程式論の研究における新しい可能性を追求していくものである。それを具現化する道具としてのフーリエ積分作用素論とその理論の枠組みとしての関数空間論の整備を基本課題に据え、さらには、より一般の偏微分方程式に対する様々な基本的評価式を導出しその諸性質を考察するという応用課題に取り組むことによって、その方法論の有効性を実証していく。これは、偏微分方程式論における調和解析学の成果の積極的な利用という近年における世界的な動向に対し、さらに超局所解析の視点を融合させる独創的な試みである。
今年度の第1の成果として、フーリエ積分作用素の大域的な Lp-有界性の理論を構築した。フーリエ積分作用素の Lp-評価式は、これまで p=2 の場合に大域的評価式が、一般の p の場合に局所的評価式が成立することが知られていたが、今回の研究成果により、一般の p の場合にも大域的評価式が得られることを示した。
第2の成果として、非分散型方程式に対する平滑化評価式を導出した。非分散型方程式に対しては一般には平滑化評価式は成立しないことが知られており、その代わりとして「不変評価式」が提唱されていたが、今回の研究成果により、すべての定係数分散型方程式が「不変評価式」をみたしていることが示された。
第3の成果として、制限定理及び分散型方程式に対する平滑化評価式における最良定数を決定した。これまでシュレディンガー方程式に対する様々なタイプの平滑化評価式の最良定数を決定してきたが、依然として未知のままとなっているケースも残されていた。今回の研究成果により、これら未知のケースに対してもほぼ完全な解答を与えることができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
これまでの研究により、基本課題に関してかなり大きな進展がみられた。まずは、フーリエ積分作用素の大域的な有界性という基本的な性質を解明できたことは大きな進展である。また、「不変評価式」はこれまで特殊な非分散型方程式に対してのみ示されていたが、すべての定係数分散型方程式に対しても成立することが示されたのも予想以上の成果である。さらには、代表的な平滑化評価式のほぼ全てに対してその最良定数が決定されたことも驚くべき進展であろう。これら全ての成果に対して、非常に満足している。
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| 今後の研究の推進方策 |
基本課題が計画以上に進展したことにより、その成果を用いて応用課題にも精力的に取り組んで行きたい。すなわち、より一般の偏微分方程式に対する様々な基本的評価式を導出し、その諸性質を考察してく予定である。例えば、波動・シュレデインガー方程式に関しては、Strichartz 評価式、Morawetz 評価式、平滑化評価式、Carleman 評価式などさまざまな基本的評価式が成立することが知られているが、変数係数の場合を含むより一般の双曲型・分散型方程式に対してもそれらを導出し、解の一意接続性や対応する非線形初期値問題の時間大域解の存在などを考察していきたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究代表者と海外共同研究者である Michael Ruzhansky とが組織委員となり、各年度にフーリエ解析と偏微分方程式論に関する国際研究集会を開催しているが、今年度開催を予定していた東京での研究集会が会場の都合で延期となったため、講演者招聘のための費用として計上していた予算に未使用額が生じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
昨年開催を予定していた国際研究集会は、今年度マカオにて ISAAC Congress の Special Session の形で代替開催することになっており、そのための招待講演者渡航費用として前年度未使用額を使用する。また、今年度は研究支援者を雇用して研究をより推進することを計画しており、そのための費用にもあてる。
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